问题补充:
如图,在直角坐标平面中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴的负半轴上,cos∠ABC=,点P在线段OC上,且PO、OC的长是方程x2-15x+36=0的两根.
(1)求P点坐标;
(2)求AP的长;
(3)在x轴上是否存在点Q,使以A、Q、C、P为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出直线PQ的解析式;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵PO、OC的长是方程x2-15x+36=0的两根,OC>PO,
∴PO=3,OC=12
∴P(0,-3)
(2)在Rt△OBC与Rt△AOC中,cos∠ABC==cos∠ACO,
∴
设CO=4K,AC=5K,∴CO=4K=12,K=3
∴AO=3K=9,∴A(-9,0)
∴AP=
(3)设在x轴上存在点Q(x,0)使四边形AQCP是梯形,
①AP∥CQ,∴,
∵OA=9,OP=3,OC=12,
∴OQ=36,则Q(-36,0),
设直线PQ的解析式为y=kx+b,将点P(0,-3),Q(-36,0)代入,得,
解得:,
②同理当PQ∥AC,可得PQ的解析式为:y=-x+3;
∴所求直线PQ的解析式为y=-x-3或y=-x+3.
解析分析:(1)通过解方程x2-15x+36=0,得OP、OC的长度,即可推出P点的坐标,(2)根据直角三角形的性质,推出Cos∠ABC==Cos∠ACO=,结合已知条件即可推出AP的长度,
(3)首先设出Q点的坐标,分情况讨论,①AP∥CQ,然后根据,即可求出OQ的长度,即可得Q点的坐标,然后根据P和Q点的坐标即可推出直线PQ的解析式,②PQ∥AC,分别求出即可.
点评:本题主要考查解整式方程、解直角三角形、勾股定理、平行线的相关性质、求一次函数解析式,关键在于确定P点的坐标;根据解直角三角形求得AP的长度;根据平行线的性质,确定OQ的长度,确定Q点的坐标.
如图 在直角坐标平面中 Rt△ABC的斜边AB在x轴上 直角顶点C在y轴的负半轴上 cos∠ABC= 点P在线段OC上 且PO OC的长是方程x2-15x+36=0的