问题补充:
如图,已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E,边AC过圆心O与圆O相交于点F、G.
(1)求证:DE∥AC;
(2)若△ABC的边长为a,求△ECG的面积.
答案:
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,∠C=60°;
∵AB、BC是圆O的切线,D、E是切点,
∴BD=BE,
∴∠BDE=60°,∠A=60°,有DE∥AC.
(2)分别连接OD、OE,作EH⊥AC于点H.
∵AB、BC是圆O的切线,D、E是切点,O是圆心,
∴∠ADO=∠OEC=90°,OD=OE,AD=EC.
∴△ADO≌△CEO,有AO=OC=a.
∵圆O的直径等于△ABC的高,得半径OG=,
∴CG=OC+OG=a+,
∵EH⊥OC,∠C=60°,
∴∠COE=30°,EH=;
∵S△ECG=CG?EH=?,
∴.
解析分析:(1)由△ABC是等边三角形可知∠B、∠C的度数,又因AB、BC是圆O的切线,D、E是切点,可知BD=BE,故可以证明两直线平行.
(2)分别连接OD、OE,作EH⊥AC于点H,由题意知条件可求出AO=OC,由圆O的直径等于△ABC的高,得半径OG,进而求出CG,EH,
有三角形面积公式求出数值.
点评:本题是一道综合性很强的习题,考查到切线的性质,全等三角形的判断,等边三角形的性质等,是一道很不错的题.
如图 已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB BC相切于点D E 边AC过圆心O与圆O相交于点F G.(1)求证:DE∥AC;(2)若△ABC的边长为a 求