问题补充:
已知,直角梯形ABCD的边AB=a,BC=b,CD=c,腰AD是⊙O的直径,直角腰BC交⊙O于E、F,求证:tan∠BAE和tan∠BAF是ax2-bx+c=0的两根.
答案:
证明:过O作OH⊥CB于H,BA的延长线与⊙O交于G,连DG,
∵∠C=∠B=90°,∠DGA=90°,
∴四边形BCDG是矩形,
∴CD=BG,AB=BE,
∵OF=OE,O为AD中点,
∴H为EF和BC的中点,
∴BH=CH,
∵EH=HF,
∴BE=CF,
∴tan∠BAE+tan∠BAF=+==,
tan∠BAE×tan∠BAF=×==;
∴tan∠BAE和tan∠BAF是ax2-bx+c=0的两根;
解析分析:通过作辅助线,过O作OH⊥CB于H,BA的延长线与⊙O交于G,连DG,构建矩形BCDG,可得,BE=AB,BG=CD,BE=CF,从而,利用二次函数根与系数的关系,可解答.
点评:本题考查了直角梯形以及二次函数根与系数的关系,解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.
已知 直角梯形ABCD的边AB=a BC=b CD=c 腰AD是⊙O的直径 直角腰BC交⊙O于E F 求证:tan∠BAE和tan∠BAF是ax2-bx+c=0的两根