问题补充:
已知:如图,正方形ABCD中,O是BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)求证:G是DF中点;
(3)若CE=1,求正方形ABCD的面积.
答案:
证明:(1)∵正方形ABCD中,BC=DC,∠BCD=90°,
∴∠BCD=∠DCF=90°,
∴∠DCF=90°=∠BCD,
∵在△BCD和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS);
(2)∵△BCE≌△DCF,
∴∠1=∠F,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠F+∠2=90°,
∵D、G、F三点共线,
∴∠BGF+∠BGD=180°,
∴∠BGD=90°=∠BGF,
∵BE平分∠DBC,
∴∠3=∠2,
∵在△BDG和△BGF中,
,
∴△BDG≌△BGF(ASA),
∴DG=FG,
∴G是DF的中点;
(3)∵O是BD的中点,G是DF的中点,
∴OG=BF,
∵∠BGD=90°,O是BD的中点,
∴OG=BD,设正方形边长是x,则BF=BC+CF=BC+CE=x+1,
∴BD=x+1,
∵∠BCD=90°,
∴BC2+CD2=BD2,即x2+x2=(x+1)2,
解得x=+1,
∴S正方形ABCD=x2=(+1)2=3+2.
解析分析:(1)根据正方形的性质可以得到∠DCF=90°=∠BCD,根据SAS即可证得△BCE≌△DCF;
(2)首先证明∠BGD=∠BGF=90°,然后利用ASA即可证明△BDG≌△BGF,从而得到DG=FG,即G是DF中点;
(3)根据(2)的证明可以得到BF=BD,则设正方形边长是x,则BD=x+1,在直角△BCD中,利用勾股定理即可得到一个关于x的方程求得正方形的边长,则面积即可求得.
点评:本题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质,三角形的中位线定理的性质,以及勾股定理的应用,正确理解定理是关键.
已知:如图 正方形ABCD中 O是BD的中点 BE平分∠DBC 交DC于点E 延长BC到点F 使CF=CE 连接DF 交BE的延长线于点G 连接OG.(1)求证:△B