问题补充:
如图,点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧BD的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1.
(1)求证:△DEC∽△ADC;
(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明并求出它的面积;若不是,请说明理由.
答案:
证明:(1)∵C为劣弧BD的中点,
∴=,
∴∠DAC=∠BAC,
又∠DAC和∠BDC对的弧都为,
∴∠DAC=∠BDC.
∴∠BAC=∠BDC,又∠DCA=∠DCA,
∴△DEC∽△ADC.
(2)由(1)知,△DEC∽△ADC,
∴EC:DC=DC:AC.
∴DC2=3,DC==BC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△BCE中,CE=1,BC=,
∴BE=2,
∴∠CBE=30°,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°,劣弧AD的度数为60°.
即∠DCA=30°=∠CAB.
∴CD∥AB,且CD≠AB.
∴四边形ABCD是上底为DC,下底为AB,高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形.
∵AC=AE+EC=3,BC=,根据勾股定理得AB=2,则∠CAB=30°,
∴直角三角形斜边AB边上的高为,
∴S梯形ABCD==.
解析分析:(1)根据圆周角定理,同弧所对的圆周角相等易得∠DAC=∠BDC,再由C是劣弧BD的中点,得到=,根据等弧所对的圆周角也相等可得∠DAC=∠CAB,等量代换可得三个角都相等,同时又有∠DCA=∠DCA,易得出证明;
(2)根据题意易得DC2=3,DC==BC,进而可得劣弧BD、AD的度数;即∠DCA=∠CAB,可得CD∥AB,且CD≠AB,可判断得出四边形ABCD是梯形.
点评:本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力和相似三角形的判定和性质的应用.
如图 点A B C D是直径为AB的⊙O上四个点 C是劣弧BD的中点 AC交BD于点E AE=2 EC=1.(1)求证:△DEC∽△ADC;(2)试探究四边形ABCD