问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,以点A(0,-3)为圆心,5为半径作圆A,交x轴于B,C两点,交y轴于点D,E两点.
(1)求点B,C,D的坐标;
(2)如果一个二次函数图象经过B,C,D三点,求这个二次函数解析式;
(3)P为x轴正半轴上的一点,过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线,交上述二次函数图象于点F,当△CPF中一个内角的正切之为时,求点P的坐标.
答案:
解:(1)∵点A的坐标为(0,-3),线段AD=5,
∴点D的坐标(0,2).
连接AC,在Rt△AOC中,∠AOC=90°,OA=3,AC=5,
∴OC=4.
∴点C的坐标为(4,0);
同理可得点B坐标为(-4,0).
(2)设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
由于该二次函数的图象经过B,C,D三点,则
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+2;
(3)设点P坐标为(t,0),由题意得t>5,
且点F的坐标为(t,-t2+2),PC=t-4,PF=t2-2,
∵∠CPF=90°,
∴当△CPF中一个内角的正切值为时,
①若时,即,解得t1=12,t2=4(舍);
②当时,解得t1=0(舍),t2=4(舍),
所以所求点P的坐标为(12,0).
解析分析:由题意可知AC=5,OA=3,根据勾股定理可知,OC=4,可知C点坐标,同理求出B点坐标,OA=3,AD=5,求出OD=2,求出D点坐标.
(1)∵点A的坐标为(0,-3),线段AD=5,∴点D的坐标(0,2).
连接AC,在Rt△AOC中,∠AOC=90°,OA=3,AC=5,∴OC=4.
∴点C的坐标为(4,0);
同理可得点B坐标为(-4,0).(2)已知B,C,D三点坐标,设出解析式,代入即可求出函数解析式.
设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
由于该二次函数的图象经过B,C,D三点,则
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+2;(3)根据图象可知,正切为,则∠cpf为直角,设出P点坐标,然后表示出CP,PF的长度,然后分情况讨论=还是,或是两者都可,求出P点坐标.
设点P坐标为(t,0),由题意得t>5,
且点F的坐标为(t,-t2+2),PC=t-4,PF=t2-2,
∵∠CPF=90°,∴当△CPF中一个内角的正切值为时,
①若时,即,解得t1=12,t2=4(舍);
②当时,解得t1=0(舍),t2=4(舍),
所以所求点P的坐标为(12,0).
点评:本题旨在考查圆在坐标中出现的问题,圆与抛物线交点问题,以及三角形中正切的概念.
如图 在平面直角坐标系中 点O为坐标原点 以点A(0 -3)为圆心 5为半径作圆A 交x轴于B C两点 交y轴于点D E两点.(1)求点B C D的坐标;(2)如果一