问题补充:
如图,AB是△ABC外接圆O的直径,D为⊙O上一点,且DE⊥CD交BC于E,求证:EB?CD=DE?AC.
答案:
证明:延长DE,交⊙O于F;连接CF,AF、BF;
由于CD⊥DF,即∠CDF=90°,因此CF必为⊙O的直径.
∵OA=OB=OC=OF,
∴四边形AFBC为矩形.
∴BF=AC,∠CBF=90°.
∴∠CDE=∠CBF=90°.
∵∠CED=∠FEB,
∴△CED∽△FEB,
∴EB:ED=BF:CD.
∴EB:ED=AC:CD.
∴EB?CD=DE?AC.
解析分析:本题可通过构建相似三角形求解.延长DE交⊙O于F,连接CF;由CD⊥DE,可知CF必为⊙O的直径.连接AF、BF,由于四边形ACBF的对角线相等且互相平分,因此四边形ACBF是矩形.
可得AC=BF,∠EBF=90°;易证得△CED∽△FEB,可得出关于EB、CD、DE、BF的比例关系式,将AC=BF代入上式,可得出本题所证的结论.
点评:本题综合考查了圆周角定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识.综合性较强,难度稍大.