“零点个数”是我们在高中数学非常常见的一类的题目,通常的做法,是画出图像,找出交点个数。但实际上,我们会画的函数图像是非常有限的,我们能够直接画出图像的函数只有八类,分别是:一次、二次、反比例,指数、对数、幂函数,双勾函数和三角函数。而除了这八类函数以外,很多函数的图像,我们是没有办法直接画出来的。这个时候就要用到导数的知识了。我们以几个例题,来展示如何通过“数形结合”来解决“零点个数”的问题。
刚才的例题1,就是数形结合,画图像找交点的经典范例。整体看来是没办法画图像的,所以我们把它拆成两个可以画图像的函数,找出它们的交点个数,其实就是原函数的零点个数。那么,对于即使分离,也没有办法直接画图像的函数,要怎么解决呢?这个时候,我们就需要利用导数的知识,列表之后,就可以描点画图了。我们再来看例题2。
例题2其实和例题1并没有什么本质的区别,零点个数,就是画图像找交点。只不过,对于不是基本函数的式子,我们可以通过求导列表的方式,画出它的图像。我们只需要求出列表,求出区间端点和极值点,用平滑的曲线连接,就可以得到函数的图像了。得到函数图像之后,就是比较直接的观察零点个数了。还想要补充的是,并不是所有的零点个数的题目,都需要分离参数,将想求出的未知数,单独的放在等号的一侧。有时这样强行分离,理论上可行,但是右侧函数很难求导,或很难求解,尤其是要做除法的时候。具体是分离参数,还是整体求导,或是进行一些变形,需要结合题目的实际情况来操作。
再来讲一个广州曾经的模拟考真题,也是个经典的例题。
以三个例题,讲解了“零点个数”这个专题的内容。
零点个数,画图像,找交点。这个道理并不是很难理解,但是能够熟练运用,还需要同学们多多练习。一方面要非常熟悉前面提到的八类常见函数的图像和特征,另一方面对于分离参数或者式子的恒等变换,要具有一定的想象力。需要在平时的作业及练习题中,不断的积累。