初二数学上
章节一
一、认识三角形,能通过三角形的性质为之分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
1.锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形。直角三角形:有一个内角是直角的三角形。钝角三角形:有一个内角是钝角的三角形。
2.三角形的三个性质:(1)三角形三个内角的和等于180°.(2)三角形任何两边的和大于第三边。(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
二、学会认识并使用三角形的角平分线、中线与高线。(会画)
三角形的角平分线:在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。(性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。性质定理的逆定理:角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上。)
三角形的中线:连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段,叫做三角形的中线。
三角形的高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
三、正确辨别真命题与假命题。
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
四、学会如何证明两个三角形全等。
能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。
证明两个三角形全等的方法:(1)三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)。(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)。(3)两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)。(4)两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)。
五、认识并使用垂直平分线。(会画)
垂直平分线:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。
性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
六、熟练使用尺规作图法。
章节二
一、了解图形的轴对称的各种性质。
轴对称图形性质:(1)对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。(2)成轴对称的两个图形是全等图形。
二、等腰三角形与等边三角形。
等腰三角形性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中,等边对等角。由此可得推论:等边三角形的各个内角都等于60°.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形三线合一。
三、等腰三角形的判定。
等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。
等边三角形的判定定理:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、逆命题和逆定理。
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。
每个命题都有它的逆命题,但每个真命题的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么久叫它是原定理的逆定理,这两个定理叫做互逆定理。
五、直角三角形性质与勾股定理及其全等判定。
直角三角形的性质定理:(1)直角三角形的两个锐角互余。(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。
古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾,较长的一边为股,斜边为弦,因此这一性质也称为勾股定理。
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a²+b²=c².
勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形全等判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。
章节三
一、不等式及它的基本性质。
用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式。这些用来连接的符号统称不等号。
不等式的基本性质1:由a<b,b<c可得到a<c,这个性质也叫做不等式的传递性。
不等式的基本性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。如:由a>b可得到a+c>b+c,a-c>b-c;由a<b可得到a+c<b+c,a-c<b-c。
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须改变不等号的方向,所得的不等式成立。如:由a>b,且c>0可得到ac>bc,a/c>b/c;由a>b,且c<0可得到ac<bc,a/c<b/c。
二、一元一次不等式及一元一次不等式组。
不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式。能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称不等式的解。
一般地,由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组。组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解。
章节四
一、平面直角坐标系。
在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点O的数轴,其中一条叫做x轴(又叫横轴),通常画成水平,另一条叫做y轴(又叫纵轴),画成与x轴垂直。这样,我们就在平面内建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。坐标系所在的平面就叫做坐标原点,两坐标轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点。
对于平面内任意一点A,作AA₁⊥x轴,AA₂⊥y轴,设垂足A₁,A₂在各自数轴上所表示的数分别为x,y,则x点叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,有序实数对(x,y)叫做点A的坐标。
X轴和y轴把坐标平面分为四个象限,象限以数轴为界,x轴,y轴上的点不属于任何象限。
点(x,y)
象限
x,y的符号
第一象限
(+,+)
第二象限
(-,+)
第三象限
(-,-)
第四象限
(+,-)
二、坐标平面内图形的轴对称和平移。
在直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)。
章节五
一、常量与变量。
在一个过程中,固定不变的量称为常量,可以取不同数值的量称为变量。
二、函数。
一般地,在某个变化过程中,设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值,那么就说y是x的函数,x叫做自变量。
三、一次函数及其性质。
一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)叫做一次函数。当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx,叫做正比例函数,常数k叫做比例系数。
待定系数法:
一般地,已知一次函数的自变量与函数的两对对应值,可以按以下步骤求这个一次函数的表达式:
1.设所求的一次函数表达式为y=kx+b,其中k,b是待确定的常数,k≠0.
2.把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组。
3.解这个关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值。
4.把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式。
把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。
一次函数有下面的性质:对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。
初二数学下
章节一
一、二次根式及其性质。
像√(a²+4),√(b-3),√(2S),√5这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
一般地,二次根式有下面的性质:
√a2=|a|={a(a≥0)或 -a(a<0)};
√(ab)=√a×√b (a≥0,b≥0);
√(a/b)=√a/√b (a≥0,b>0).
在根号内不含分母,不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。
章节二
一、一元二次方程及其解法。
方程x2+3x=4和(1-x)2=1/2的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次。我们把这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系统。
例题:解方程(1)x2-5x=0. (2)16x2=49.
(1)将原方程的左边因式分解,得x(x-5)=0,
则x=0,或x-5=0,
解得x1=0,x2=5.
(2)移项,得16x2-49=0.
将方程的左边分解因式,得(4x-7)(4x+7)=0,
则4x-7=0,或4x+7=0,
解得x1=7/4,x2= -7/4.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可得x1=√a,x2= -√a.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为
x= (-b±√(b2-4ac) )/(2a)。
这个公式叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值,直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出,方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定。因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,它的值与一元二次方程的根的关系是:
b2-4ac>0相当于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
b2-4ac=0相当于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
b2-4ac<0相当于ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根。
二、一元二次方程根与系数的关系(选学)。
一般地,一元二次方程的根与系数有如下关系:
如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,那么
x1+x2= -b/a;x1▪x2=c/a。
章节三
一、平均数。
一般地,有n个数x1,x2,…,xn,我们把(1/n)(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记x(读作“x拔”)。
二、中位数和众数。
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数。
三、方差和标准差。
一般地,各数据与平均数的差的平方的平均数
S2=(1/n)[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]叫做这组数据的方差。方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定。
一般地,一组数据的方差的算术平方根
S=√{(1/n)[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]}称为这组数据的标准差。
章节四
一、多边形及各类定理。
在同一平面内,由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点。连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
四边形有以下定理:四边形的内角和等于360°.
对于n边形,从某一个顶点出发的(n-3)条对角线把n边形划分成(n-2)个三角形,所以n边形的内角和就等于这(n-2)个三角形的所以内角之和。于是就有下面定理:n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).
由于每一个外角与和它相邻的内角互补,所以n边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为n×180°-(n-2)×180°=360°.任何多边形的外角和为360°.
二、平行四边形及其性质与判定定理。
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形有以下性质定理:平行四边形的对角相等。平行四边形的对边相等。
一般地,平行线有下面的性质定理:夹在两条平行线间的平行线段相等。
根据这个性质定理有以下推论:夹在两条平行线间的垂线段相等。
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离。
平行四边形还有如下性质:平行四边形的对角线互相平分。
判定定理:一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三、中心对称。
如果一个图形绕着一个点旋转180°后,所得到的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫对称中心。
中心对称图形的性质:对称中心平分连结两个对称点的线段。
在直角坐标系中,点(x,y)与点(-x,-y)关于原点成中心对称。
四、三角形的中位线。
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
五、反证法。
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。
章节五
一、矩形。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
定理1:矩形的四个角都是直角。
定理2:矩形的对角线相等。
定理3:有三个角是直角的四边形是矩形。
定理4:对角线相等的平行四边形是矩形。
二、菱形。
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
定理1:菱形的四条边都相等。
定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角。
定理3:四条边相等的四边形是菱形。
定理4:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形。
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
定理1:有一组邻边相等的矩形是正方形。
定理2:有一个角是直角的菱形是正方形。
定理3:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
定理4:正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
章节六
一、反比例函数。
我们把函数y=k/x(k为常数,k≠0)叫做反比例函数。这里x是自变量,y是关于x的函数,k叫做比例系数。反比例函数的自变量x的取值不能为零。
二、图象和性质。
一般地,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象有下面的特征:
反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限。
反比例函数y=k/x(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
一般地,反比例函数y=k/x(k≠0)还有以下性质:
当k>0时,在图象所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时,在图象所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大。