带电粒子在有界磁场中所做的匀速圆周运动的问题,由于较好的综合了数学、物理知识,而成为历年高考考查的重点。解决这类问题的基本思路虽然较为明了,但由于具体条件、情况复杂,方法繁多,使得此类问题成为难点。然而,笔者发现有相当数量的题型可以通过灵活运用“φ=α=2β”来达到化归统一的目的,从而找到相对确定的方法,降低试题的难度。下面就明确“φ=α=2β”和化归统一“圆运动”作具体阐述。
一、明确“φ=α=2β”
带电粒子沿垂直于磁场的方向进入有界磁场,其运动轨迹为一圆弧(优弧或劣弧),连接圆弧的两端点(入射点、出射点)即得弦,而粒子在入射点或出射点的速度方向即为该圆弧的切线,可见
表一:粒子运动与轨迹参量的对应关系
对象
粒子的运动
轨迹圆
对应
参量
入射、出射速度
切线
入射点、出射点
弦
为了更准确的反映它们的关系,定义:
φ──偏向角,即粒子沿偏转方向转过的角度,反映在入射点与出射点的速度方向上;
α──回旋角,即粒子经过圆弧所对的圆心角;
β──弦切角,即粒子的速度与“弦”所成的角。
如图1所示,易证:φ=α=2β。
二、化归统一“圆运动”
(一)空间问题
由表一可知,解决“圆运动”问题,应充分关注“速度”的方向和入射点与出射点,以明确“切线、弦”,从而确定“轨迹圆”。
1.典型的“切线、弦”类型
例1如图2所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外,磁感强度为B,一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场,入射方向在xy平面内,与x轴正方向的夹角为θ,若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L,求该粒子的电量和质量之比q/m。
分析与解答带正的电粒子射入磁场后,由于受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动,由左手定则可知,粒子沿顺时针方向运动从x轴负半轴射出磁场。令出射点为M,则OM = L。由“切线、弦”可得圆心O’,如图3所示。
由几何关系易知
, ①
又因为洛伦兹力提供向心力,即
,所以
,②
由①、②解得
。
利用圆的切线、弦的性质找准圆心,确定“轨迹圆”是该题得以解决的关键所在。
2.已知入射方向及偏向角“φ”,可用“φ=2β”来补弦,从而将问题化归为“切线、弦”类型
例2如图4所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径(重力忽略不计)。
分析与解答由于已知初速度与末速度的方向,可得偏向角φ=π/2。设粒子由M点进入磁场,则由φ=2β可沿粒子偏转方向β=π/4来补弦MN,如图5所示。
由“切线、弦”可得圆心O1,从而画轨迹弧MN。
显然M、N为磁场边界上两点,而磁场又仅分布在一圆形区域内。欲使磁场面积最小,则弦MN应为磁场边界所在圆的直径(图5中虚线圆),即得
,
由几何知识,在
中可知
,
又因为
,
所以,这圆形磁场区域的最小半径
。
运用“φ=2β”来补弦,将此题化归于“切线、弦”类型,顺利得到粒子的运动轨迹,为观察发现磁场区域之半径与粒子运动轨迹的半径的关系,使问题得以解决创造了条件。
例3如图6所示,在边界为CD、EF的狭长区域内,匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸而向里,磁场区域宽度为d,电子以不同的速率v从边界CD的S处沿垂直磁场方向射入磁场,入射方向与CD的夹角为θ.已知电子的质量为m,带电量为e。为使电子能从另一边界EF射出,电子的速率应满足什么条件?(不计重力)
分析与解答由
,可知当m、e、B一定时,速率v大则轨迹半径R亦大。
设当电子以速率v0射入磁场时,其运动轨迹恰好与边界EF相切,则有
①
且∠vSD即为偏向角φ,依据“φ=2β”做∠vSD的角平分线SM即得弦。
运用“切线、弦”可得圆心O,从而画出电子的轨迹(如图7所示)。
由图7,运用几何知识不难发现
②
由①、②解得
所以,为使电子能从EF边界射出,电子的速率应
。
有“切线、弦”的意识,发现隐含条件,抓住临界专态,迅速而准确的做出轨迹、图形,是求解该题的关键。
㈡时间问题
因为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由
,
,可得
。可见要解带电粒子在磁场中运动的时间问题关键是抓住回旋角α。
1.抓住回旋角“α”,求解时间
例4在真空中半径
的圆形区域内有匀强磁场,其边界跟y轴在坐标原点O处相切,磁场B=0.3T垂直于纸面向里,在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为
的带正电的粒子,已知粒子荷质比为
,则粒子在磁场中运动的最长时间t有多大?
分析与解答由
可知,在v、
一定时,若α最大则粒子在磁场中运动的时间就最长,且其所对的弦也最长。然而入射点与出射点间的距离即弦长,所以粒子要在磁场中的运动时间最长,必定从O点进,而从M点出(如图8所示)。
又因为
由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹。
由图易知
,
所以,粒子在磁场中运动的最长时间为
2.由“α=φ”,应用偏向角φ求解时间
例5如图9所示,一束电子(质量为m,电量为e)以速度v0沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里,磁感应强度为B,而宽度为d的匀强磁场。射出磁场时的速度方向与竖直边界成30°,则穿过磁场所用的时间是________________。
分析与解答直接应用求解,则需要画轨迹,工作量较大,且对于填空题而言,这属于无用功。
因已知初速度和末速度的方向,易得偏向角φ,若应用“α=φ”作为桥梁再应用
求解,则解题过程十分简单。
所以,
。
3.由“α=2β”,应用弦切角β求解时间
例6如图10所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一对正、负电子分别以相同速率,沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,则正、负电子在磁场中运动的时间之比为
A.
B.
C.
D.
分析与解答 由左手定则可知,正电子由原点O射入磁场后沿逆时针方向偏转,而负电子则沿顺时针方向偏转。所以,正、负电子运动轨迹的弦切角分别为电子在O点的速度v与y轴正方向和与x轴正方向所成的角,即
,
由
及α=2β可得
,故选“B”。
如若由题条件知道弦切角β,利用“α=2β”求解带电粒子在磁场中的运动时间问题非常方便,连轨迹都不用画,效率很高,特别适用于求解选择题和填空题。
综上所述,灵活应用“φ=α=2β”可将带电粒子在磁场中的运动的作图问题统一于“切线、弦”类型,而将运动的时间问题化归于
。这虽然不能解决所有的问题,但对于基础比较薄弱的学生而言无疑是很有意义的,它可以一定程度上降低试题的难度,帮助学生更快的掌握此类习题的解法。
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