二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用,解决这类问题需要用到数形结合思想,把“数”与“形”结合起来,互相渗透。存在探索性问题是指在给定条件下,判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在,然后在这个假设下进行演绎推理,若若推出矛盾,即可否定假设;若推出合理结论,则可肯定假设。
真题解析:
(广西省桂林市,26,12分)如图,已知抛物线y=ax+bx+6(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标;
(2)点M为坐标平面内一点,若MA=MB=MC,求点M的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点E,使4tan∠ABE=11tan∠ACB?若存在 ,求出满足条件的所有E点的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】
(1)将点A(-3,0)和点B(1,0)分别代入y=ax+bx+6即可求出抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)如图(1),分别作线段AB、AC的垂直平分线,相交于点M,则点M可使MA=MB=MC,根据点A和点C的坐标可求出点D的坐标,根据互相垂直的两条直线的k值乘积为-1,则可求出线段AC的垂直平分线DE的关系式,从而得出点M的坐标;
(3)过点B作BG⊥AC于点G,过点E作EF⊥y轴于点F,先求出直线BG的关系式,即可得到点G的坐标,求得tan∠ABE的值,再根据4tan∠ABE=11tan∠ACB 解得EF=2 BF,即可求出点E的坐标.
【以下详细解答过程】
【知识点】二次函数关系式;顶点式;一次函数;两点间距离公式;勾股定理;解一元二次方程;解一元一次方程;二次根式的化简。