一直听说,中考数学中的几何压轴题非常难,是整份试卷中难度最大的题目。
真的如此吗?下面我们从一份中考数学模拟卷的两道压轴题中一探究竟!
几何压轴题精选
(本题满分14分)
已知,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P是AB延长线上一点,连接CP.
(1)如图1,若∠PCB=∠A.
①求证:直线PC是⊙O的切线;
②若CP=CA,OA=2,求CP的长;
(2)如图2,若点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,MNMC=9,求BM的值.
【简要分析】
(1)①欲证明PC是⊙O的切线,只要证明OC⊥PC即可;
②想办法证明∠P=30°即可解决问题;
(2)如图2中,连接MA.由△AMC∽△NMA,可得AM:NM=CM:AM,由此即可解决问题;
参考答案
【点评】本题属于圆综合题,考查了切线的判定,解直角三角形,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
二次函数压轴题
(本大题满分14分)
已知,抛物线y=ax^2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
【分析】
(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;
(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得△DMN的面积即可;
(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.
答案
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及函数图像的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键,在(2)中联立两函数解析式,得到关于x的一元二次方程是解题的关键,在(3)中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键,本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.