本题是齐齐哈尔建华区期中测试试卷,第25题二次函数压轴题,第三问面积比找点,两种情况,第四问垂直平分线上的找点对学生造成困扰,菱形的存在性通常构造方法,已知两点固定,可以做两圆一垂直平分线,与等腰三角形存在性问题构造方法类似,等腰三角形一对称就是菱形。
我们先看下题目:(这题敲了4个多小时,大家多支持)
解题过程:
解:(1)解方程:x(^2)-6x+5=0
(x-5)(x-1)=0
x[1]=5,x[2]=1
∵p,q是方程x(^2)-6x+5=0的两实数根,且p<q
∴p=1,q=5
∴A(1,0),B(0,5)
把A(1,0),B(0,5)代入抛物线y=-x(^2)+bx+c中
解得:b=-4,c=5
∴抛物线解析式为:y=-x(^2)-4x+5中
(2)∵x=-(b/2a)=-2,A(1,0)
∴C(-5,0),D(-2,9)
过点D作DF⊥x轴交BC于点E
∵OB=OC
∴△OBC是等腰直角三角形
∵EF∥BO
∴EF=CF=3
∴DE=6
∵S[△BCD]=S[△DEC]+S[△DEB]=(1/2)DE*OC=(1/2)×6×5=15
利用高相同,面积比转化到底边的比,设出未知数,表示点H坐标,代入函数解析式即可求解
(3)设PH与BC交于点G
①当S[△PCG]:S[△CGH]=2:3时
设GP=CP=2a,则HG=3a
∴OP=5-2a
∴H(2a-5,5a)
把点H的坐标代入y=-x(^2)-4x+5中,得
-(2a-5)(^2)-4(2a-5)+5=5a
-4a(^2)+20a-25-8a+20+5=5a
4a(^2)-7a=0
a(4a-7)=0
a=0(舍去),a=(7/4)
∴此时点P的坐标为(-(3/2),0)
②当S[△PCG]:S[△CGH]=3:2时
设GP=CP=3b,则HG=2b
∴OP=5-3b
∴H(3b-5,5b)
-(3b-5)(^2)-4(3b-5)+5=5b
-9b(^2)+30b-25-12b+20+5=5b
9(b^2)-13b=0
b(9b-13)=0
b=0(舍去),b=(13/9)
∴此时点P的坐标为(-(2/3),0)
第四问:点的存在性
(4)菱形的存在性构造方法:两圆一垂直平分线
①作CD的垂直平分线交CD于点E,交BC于M[1]
法一:补全图形,利用一线三垂直
易证:△EFC∽△M[1]GE
∵D(-2,9),C(-5,0)
∴E(-3.5,4.5)
∴EF=1.5
tan∠FBE=(1/3)
设GM[1]=x,则GE=3x
∴4.5-x=1.5+3x
x=(3/4)
∴OH=(5/4),HM[1]=(15/4)
∴M[1](-(5/4),(15/4))
法二:利用相似比求解
过点D作DF⊥x轴,作M[1]G⊥x轴
∴CF=3,DF=9
∴CD=3√(10)(1:3:√(10))
∴CE=(3√(10)/2)
∴CQ=15
设CG=M[1]G=x,则GQ=3x
∴x+3x=15
x=(15/4)
∴OG=(5/4)
以点C为圆心CD长为半径画圆,与BC分别交于点M[2],M[3]
②∵D(-2,9),C(-5,0)
∴CD=3√(10)
∴CM[2]=3√(10)
过点M[2]作M[2]K⊥x轴
∴CK=M[2]K=3√(5)
∴OK=3√(5)-5
∴M[2](3√(5)-5,3√(5))
③同理CM[3]=3√(10)
∴M[3](-3√(5)-5,-3√(5))
④以点D为圆心DC长为半径作圆交BC于点M[4]
∴CD=DM[4]=3√(10)
∵△DCF≌△DM[4]R
∴M[4]R=3,DR=9
∴M[4](7,12)
∴存在点M,坐标为(-(5/4),(15/4))或(3√(5)-5,3√(5))
或(-3√(5)-5,-3√(5))或(7,12)
齐齐哈尔黑河地区中考重难点专题汇编
中考数学压轴题视频专栏
中考数学压轴题高老师数学课堂购买专栏