高考数学 不含参数的函数值域解题技巧及其考点

高考数学中不含参数的函数值域解题技巧及其考点

函数的值域问题大概分为两大类，一类是含有参数的函数进行相关值域的求解，一类是不含参数的函数值域的求解。今天这次课我们重点讲解不含参数的值域的考点及其相关的解题技巧。

图1

1 图像法

有时候我们不知道函数的表达式是什么，但是给出了其基本的图像，我们可以通过图像进行值域的判断。判断方法比较简单：找到每一段的最高点和最低点，将该点投影到x轴上，求出其纵坐标，多个点时最后求多个点中的最大值为函数的最大值，最小值为函数的最小值。

例题：

图2

如图，给出了函数的图像，经过树形结合可以发现函数的值域为[1/2,5/2]。

2 函数的单调性法

利用函数的单调性进行值域的求解，这个是高考的核心思想。其单调性判断法有两种，一种是利用概念即在定义域内任意取两个数，假设出大小关系进行相应函数值的大小比较，其函数值与定义域对应的两个数的大小关系一致则该函数单调递增，反之单调递减。对于常数函数的单调性，高考不做要求。

图3

第二个单调性的判断方法也是高考重点考核的方法，导函数法，通过导函数的正负进行原函数单调性的判断。

这些单调性判断方法，我们会单独放到函数的性质中进行讲解，此处不再赘述。

3 基本初等函数法

之所以单独列为一个块来描述，是为了简化考生们做题的思路，这样能够快速做出一些判断。

常见的初等函数如反比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三次函数。

这个方法分为两个考点一个是基本函数原型，另外一个是基本函数的复合，这里需要知道增函数与减函数的复合为减函数，减函数与减函数的复合为增函数，增函数与增函数的复合为增函数。

图4

如f（x）=log2（x^2+2)(以2为底，x的平方加2的对数函数）即为复合函数，其函数为2对数函数与二次函数x的平方加2的复合，需要先求出定义域（当然此处巧合，定义域为R），然后再进行后面二次函数增区间的求解即为f（x）的单调递增区间，二次函数x的平方加2的单调递减区间即为f（x）的单调递减区间。

图5

下面我们简单说一下常见的基本初等函数的单调性：

反比例函数

f(x)=k/x。（k不为0），当k>0时，图像在一三象限，每一支上都是单调递减的函数，在整个定义域上没有单调性，所以一定要特别注意描述其单调性时的语句用词。

反比例函数

一次函数：

f(x)=ax+b(a不为0）其单调性只与a的正负有关，a为正数，函数在定义域上单调递增，a为负数函数在定义域上单调递减。

一次函数

二次函数：

二次函数

开口向上的二次函数（二次项系数为正），对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增。

开口向下的二次函数（二次项系数为负），对称轴左侧单调递增，对称轴右侧单调递减。

指数函数：

单调性与底数有关，底数大于1函数单调递增，底数大于0小于1函数单调递减。

对数函数：

与指数函数互为反函数，其单调性与指数函数相同，不再赘述。

对数函数与指数函数

4 反函数法

原函数与反函数的定义域和值域正好相反，如果所求函数的值域不是上面描述的几种情况，可以考虑求其反函数，反函数的定义域即为原函数的值域。

但是此方法有局限性，只有有单调性的函数才有反函数。如简单的二次函数f(x)=x^2，就不能进行反函数的求解方法进行值域的求解了。

如f(x)=x^(1/3)（x的三分之一次方），求其值域，可以对其求反函数，反函数为f(x)=x^3，反函数的定义域为R，进而知道原函数的值域为R。

图6

5 考点

高考会结合导函数的正负对原函数的值域问题进行考察，部分考题会涉及到反函数法求原函数的值域。

我们把函数值域讲完后会结合高考习题进行相关的讲解，此处不再详细做解说！

图7

好了本次课程到此就结束了，如果您有什么相关的问题和建议，请您在下方留言，咱们将在第一时间给予回复！咱们下次课再见！

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