等面积法是一种常用的数学方法,它是利用“同一个三角形面积相等”或“分割后几个三角形的面积和等于原三角形的面积”等来解决一些数学问题。在学习角平分线的性质定理和判定定理时,部分题目可以和等面积法搭配着使用。
一、角平分线的性质定理与等面积法
例题1:如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,且DE=2cm,AB=9cm,BC=6cm,求△ABC的面积.
【分析】根据角平分线做辅助线,过点D作DF⊥BC于点F,.根据角平分线的性质,得DE=DF=2,再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积,大三角形ABC分割成两个小三角形,△ABC的面积一个等于△ABD和△BCD面积之和。
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例题2:已知△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为20、30、40,其三条角平分线交于点O,则S△AOB:S△AOC:S△BOC=_____________.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等,那么三角形角平分线的交点到三角形三条边的距离相等。因此,过点O分别做垂线,得到三个三角形的高相等,面积比应该等于底之比。
例题3:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,O为△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,则OD的长是多少?
【分析】与例题2类似,通过角平分线的性质定理可以得到:OD=OE=OF,△ABC被分割成了三个小三角形,通过等面积法把OD的长求出来。
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二、角平分线的判定定理与等面积法
例题4:如图,已知F、G是OA上两点,M、N是OB上两点,且FG=MN,S△PFG=S△PMN,试问:点P是否在∠AOB的角平分线上?
【分析】证明角平分线有两种思路:(1)直接证明两个角相等;(2)用角平分线的判定定理,证明在角的内部到角两边的距离相等。本题两个三角形面积相等,底也相等,那么两个三角形的高相等,高就是到角两边的距离。
等面积法是一种重要的数学解题思想方法。利用此法解决相关数学问题时,不但思路清晰、过程简捷,而且更能体现出知识间的相互联系,在学习角平分线的性质定理和判定定理时也可以结合起来一起使用。