因动点而出现的存在性问题压轴题题型,是一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.
今天我们来学习一道抛物线上动点产生的相似与面积问题:
【济南真题】如图1,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1, tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC.抛物线y=ax^2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为狋.
① 设抛物线对称轴l与x轴交于点E,联结PE,交CD于F.求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标;
② 是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD面积的最大值;若不存在,请说明理由.
一、思路点拨
1.把△CEF与△COD相似的问题,转化为△CEF是直角三角形的问题.
2.讨论直角三角形CEF,按照直角顶点分两种情况.
3.用含有t的式子表示△PCD的面积,然后求函数的最大值.
4.分割不规则△PCD常见的方法有两种.
5.动点效果图:拖动点P在第二象限的抛物线上运动,可以体验到,△CEF可以两次成为直角三角形,与△OCD相似.从S随P变化的图像可以看到,当P运动到抛物线的顶点左侧一点点的位置时,△PCD的面积取得最大值.
动点P在第二象限yund效果图
二、满分答题
(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO =3,所以OB =3,B(0,3),C(-3,0). 因为抛物线与x轴交于A(1,0)、C(-3,0)两点,设Y=A(X+3)(X-1),将B(0,3)代入,可得a=-1. 所以抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3
(2)如果△CEF与△COD相似,那么△CEF是直角三角形.
三、方法延伸
也可以这样分割求△PCD的面积:如图5,
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