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知识定位
本节主要内容主要掌握二次函数中的最大值和最小值问题，二次函数也一直都是中考奥数竞赛联赛一试的重要内容之一。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数最值相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理
1、二次函数的最值问题，包括三方面的内容：
自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．
二次函数y=ax2+bx+c=a（x+）2+．
（1）当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，y随x增大而减小；当x>-时，y随x增大而增大；当x=-时，y取最小值．
（2）当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，y取最大值．
2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，要结合图象和增减性来综合考虑．
（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
若自变量的取值范围为，则取最值分和两种情况，由、与的大小关系确定。
1．对于a>0：
（1）当，因为对称轴左侧随的增大而减小，所以的最大值为，最小值为。这里、分别是在与时的函数值。
（2）当，因为对称轴右侧随的增大而增大，所以的最大值为，最小值为。
（3）当，的最大值为、 中较大者，的最小值为.
2．对于a<0：
（1）当，的最大值为，最小值为。
（2）当，的最大值为，最小值为。
（3）当，的最小值为、 中较大者，的最大值为.
综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：、、
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知是方程的两个实数根，求的最大值和最小值。
【答案】；
【解析】解：由于题给出的二次方程有实根，所以，
∵函数在随着的增大而减小
∴ 当时，；
当时，
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】（1）求函数在区间中的最大值和最小值。
（2）已知：，且，求的最小值。
【答案】（1），（2）3
【解析】解：（1）若则
由此在画出草图
∴，
当时，；当时，
对，
当时，；时，
综上所述，时，；当时，.
（2）由得，
由 得 故因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
虽然有最小值，但不在的范围内，
因此不是所求的最值。
又时，；时，
∴所求的最小值为3
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】求函数的最值
【答案】如下解析
【解析】 解：把化为关于x的二次方程
，要使这个方程有实数根，则根据
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题
【题目】函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．
【答案】-1
【解析】解：y=2（│x│+1）2-3=
其图象如 图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．
评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．
【答案】-4
【解析】 分析：应用二次函数y=ax2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．
解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，
所以△=b2-4ac>0，
（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，
由于a是正整数，故a>1，
所以a≥2，
又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，
满足题意，故b+c的最大值为-4．
评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】天津市竞赛题
【题目】已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．
【答案】如下解析
【解析】分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x==（a-2）+，因0<≤1，a-2<≤a-1，故函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，时达到，所以，解决本例的关键在于分类讨论．
解：y=（a+2）（x-）2+1-，
其对称轴为x==（a-2）+．
因为a为正整数，故0<≤1，a-2<≤a-1．
因此，函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，时达到．
（1）当=a-1时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值．
（2）当a-2< <a-1，即a>1时，由于x是正整数，而为小数，
故x=不能达到最小值．
当x=a-2时，y=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1．
又y1-y2=4-a．
（i）当4-a>0，即1<a<4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；
（ii）当4-a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；
（iii）当4-a<0，即a>4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值．
综上，x=（其中a为整数）
评注：求二次函数y=ax2+bx+c在给定范围的最值，关键是看对称轴方程是否在给定范围内，并与端点一并比较．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】5
【试题来源】2000年全国数学竞赛题
【题目】一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）．
【答案】316
【解析】 分析：设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么首先用x、y表示出不满意总分的函数关系式，再用配方法来求取最值．
解：对于每一个乘电梯上、下楼的人，他所住的楼层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设P层的人乘电梯，而住Q层的人直接上楼，P<Q．交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少，即P>Q．设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为
S=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]
=
=2x2-（y+102）x+2y2+3y+1684
=2（x-（y-6）2+316≥316．
当y=6，x==27时S取最小值为316．
评注：通过配方，把S的代数表达式用非负数与常数的和或积表示而求最值是常用的方法应掌握．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季度即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】如下解析
【解析】 分析：由于时间不同所建立的函数解析式就不同，故本题需要分类讨论．
解：依题意，可建立的函数关系式为：
y=
（2）设销售利润为W，则W=售价-进价
故W=
化简得W=
①当W=x2+14时，∵x≥0，函数y随着x增大而增大，∵1≤x≤6
∴当x=6时，W有最大值，最大值=18.5．
②当W=x2-2x+26时，∵W=（x-8）2+18，当x≥8时，函数y随x增大而增大
∴在x=11时，函数有最大值为19．
③当W=x2-4x+48时，∵W=（x-16）2+16，∵12≤x≤16，当x≤16时，函数y随x增大而减小，
∴在x=12时，函数有最大值为18．
综上所述，当x=11时，函数有最大值为19．
评注：本题以分段函数为背景，与分类讨论思想相结合，解题时要紧扣题设条件，根据自变量的不同取值范围，实施分类解答，并做到不重不漏，逐层讨论求解
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．
（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）S△PCQ=PC·CQ=（3-t）·2t=（3-t）t=2，
解得t1=1，t2=2．
∴当时间t为1秒或2秒时，S△PCQ=2厘米2；
（2）①当0<t≤2时，S=-t2+3t=-（t-）2+；
②当2<t≤3时，S=t2-t+6=（t-）2+；
③当3<t≤4.5时，S=-t2+=-（t-）2+；
（3）有．
① 在0<t≤2时，当t=，S有最大值，S1=；
② 在2<t≤3时，当t=3，S有最大值，S2=；
③ 3<t≤4.5时，当t=，S有最大值，S3=，
∵S1<S2<S3，
∴t=时，S有最大值，S最大值=．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知抛物线y=x2+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）∵抛物线y=x2+mx+n与y轴交于点C，
∴C（0，n），
∵BC∥x轴，
∴B点的纵坐标为n．
∵B、A在y=x上，且OA=OB，
∴B（n，n），A（-n，-n）．
解得：n=0（舍去），n=-2；m=1．
∴所求解析式为：y=x2+x-2．
（2）作DH⊥EG于H，∵D、E在直线y=x上，
∴∠EDH=45°，∴DH=EH．∵DE=，
∴DH=EH=1．∵D（x，x），∴E（x+1，x+1）．
∴F的纵坐标：x2+x-2，G的纵坐标：（x+1）2+（x+1）-2．
∴DF=x-（x2+x-2）=2-x2，
EG=（x+1）-[（x+1）2+（x+1）-2]=2-（x+1）2．
∴y= [2-x2+2-（x+1）2]×1，
y=-x2-x+3， y=-（x+）2+3，
∴x的取值范围是-2<x<1，当x=-时，y最大值=3．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】已知二次函数有最大值－3，求实数的值
【解析】 解：（1）若，即，抛物线开口向下，
∵二次函数最大值，即与矛盾，舍去。
（2）若当时，随增大而减小，
（3）若当时，随增大而增大，当时，，
综上所述，或
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-2x-1│的最值
【答案】1
【解析】分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．
解：如图，先作抛物线y=x2-2x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，
即得y=│x2-2x-1│的图象，
对称轴是直线x=，方程x2-2x-1=0的两根是±2．
由此可知，0与3位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：
f=|-2·-1|=4，
而最小值为f（0），f（3）中较小者
∵f（0）=1，f=6-8>1，
∴最小值为1．
评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】求函数y=（4-x）+2的最值
【答案】4+3
【解析】 解：设u=2-x，则u>0，且y=4+u．
于是（u+x）2=4（x2+9），即
3x2-2u·x+36-u2=0．
∵x∈R，
∴上式的判别式
△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，
即u2≥27，故u≥3．
∴y=4-x+2的最小值为4+3（当x=时取到）．
评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】1997年湖北省荆州市初中数学联赛试题
【题目】已知二次函数y=（a2-a+1）x2+bx+a的图象与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），其顶点横坐标为，设t=x13+x23．
（1）试用a把t表示出来；
（2）问实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？
【答案】如下解析
【解析】 分析：应用一元二次方程根与系数关系可求出t的表达式；再通过根的判别式法求出t的最值．
解：根据题意得
∴b=-（a2-a+1），x1+x2=1．
此时，△=b2-4（a2-a+1）·
=（a2-a+1）2-a（a2-a+1）
=（a2-a+1）（a2-a+1）
=[（a-）2+][（a-）2+]>0，
∴a可取任意实数值．
（1）t=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）
=1-3x1x2=1-·．
（2）将t=变形，得
2（t-1）2a2+（3-2t）a+2（t-1）=0，
显然，当a=0时，t=1．
当t≠1时，△a=（3-2t）2-4×2（t-1）×2（t-1）≥0，
12t2-20t+7≤0，
∴≤t≤．
综上所述，tmin=，仅当a=1时取得．
评注：在求二次函数的最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑△≥0与二次项系数不为0的条件．
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售这种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）设y=kx+b，它过点（60，5），（80，4）．
∴y=-x+8．
（2）z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x2+10x-440．
∴当x=100时，最大年获得为60万元．
（3）令z=40，得40=-x2+10x-440，
整理得：x2-200x+9600=0．解得：x1=80，x2=120．
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．
又因为销售单价越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价定为80元
【知识点】函数的最大值最小值
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
