导数压轴题中极值不定型题目是近几年高考题的高频题型,解题中如果采用设而不求的方法,巧妙转换,可以极大降低解题过程,攻克题目难点。
经典例题:
已知函数f(x)=ax^2-ax-xlnx,且f(x)≥0。
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e^(-2)<f(x0)<2^(-2)。
思路分析:用导数来研究函数的极值的问题,有两种情况,一种是极值点可以顺利求并计算出极值;另一种是极值点不定,不能准确求出,但可用零点存在性定理的端点值来证明其存在,并根据极值点的取值范围来讨论极值的范围。本题属于极值点不可求型。问题真正的难点在于,如何通过极大值点的范围、极大值点满足的方程来求得极大值的范围。
解析:
(Ⅰ)简解:由f(1)=0,可将条件f(x)≥0转化为f(x)≥f(1),即x=1是f(x)的极小值点,故f′(1)=0,解得a=1。再证明f(x)=x^2-x-xlnx≥f(1)=0即可。
(Ⅱ)证明:f(x)=x^2-x-xlnx,f′(x)=2x-2-lnx,x>0。
令h(x)=2x-2-lnx,则h′(x)=2-1/x,
由h′(x)=0得x=1/2。
当0<x<1/2时,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x>1/2时,h′(x)>0,h(x)单调递增。
因为h(e^(-2))=2e^(-2)>0,h(1/2)<0=h(1),所以h(x)在区间(0,1/2)内有唯一零点x0,在区间(1/2,+∞)内有唯一零点x0,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0。
因为f′(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点。
由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0),由x0∈(0,1/2)得f(x0)<1/4。
因为x=x0是f(x)在区间(0,1)内的最大值点,
由e^(-1)∈(0,1),f′(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2)。
所以e^(-2)<f(x0)<2^(-2)。
总结:本题的解题思路比较简单明确。但是,具体的计算过程并不容易:极大值点满足的方程f′(x)=2x-2-lnx=0是超越方程,具体的值是求不出来的,而后面的极大值计算也涉及初等函数——对数计算,所以通过对lnx代换的方式,大大降低了极大值的计算难度。这种设而不求、整体代换的思想在高中数学中也是一种比较重要的方法。
另外,题中函数f(x)=x(ax-a-lnx)包含g(x)=lnx-ax-b型函数。实际上,g(x)=lnx-ax-b就是lnx的泰勒展开式的一部分,我们可以从lnx的泰勒展开式中得到一些更加精细的不等式,运用“两边夹”法则求解参数的值。