Chapter 7
马科维茨投资组合理论
问题描述
即对以下问题求解:
Max:U=E(r)−12Aσ2s.t.
∑iωi=1
不考虑做空的情况下,加一条限制条件ωi>0
目标函数及约束条件中:
E(r)=∑iωiE(ri)σ2=ω⃗TCω⃗
注:
A为个人投资者的风险厌恶度,
ωi 为每种资产的配置比例,ω⃗为各资产配置比例列向量,C为各资产ri 的协方差矩阵,是一个实对称方阵。
问题分解
可以直接将资产不区分无风险资产和有风险资产,代入所有已知条件求Umax及对应的ω⃗。
但也可以将问题分解,首先只考虑风险资产的配置比例问题,然后再考虑无风险资产与风险资产的配置比例问题。
Step 1 风险资产的内部配置对应的E−σ可行域及边界曲线
现在假设投资仅限于风险资产(且不做空):
当只有2种风险资产组合时,不同配置比例下的E(r)−σ(r)可行域为一条曲线
当有多于2种风险资产组合时,不同配置比例下的E(r)−σ(r)可行域为一个二维有界区域 Σ。其左上部分边界为一条上凸曲线f(E,σ)=0,为需要求的边界曲线,称为有效前沿
具体如何求Σ的左上部分边界曲线,即为以下问题
Min:σ2=ωTCωs.t.
E=∑iωiRi∈[E(rmin),E(rmax)]∑iωi=1
不考虑做空的情况下,加一条限制条件ωi>0
注:
A为个人投资者的风险厌恶度,ωi为每种风险资产的配置比例,ω为各风险资产配置比例列向量,R为各风险资产的预期收益率,C为各风险资产
上述等式约束条件的二次型问题可以用拉格朗日乘子法求解,问题变为:
L(ω)=ωTCω+λ1(E−RTω)+λ2(1−ωTI0))∇ωL(ω,λ)=0∇λL(ω,λ)=0
求解∇ωL(ω):
=∇ωTr(L(ω))
=∇ωTr(ωωTC)−λ1∇ωTr(ωTE)−λ2∇ωTr(ωTI0)
=∇ωTr(ωIωTC)−λ1E−λ2I0
=Cω+CTω−λ1E−λ2I0
=2Cω−λ1E−λ2I0=0
若C可逆,则
Step 2 无风险资产与风险资产的配置比例求解
∀(E,σ)∈Σ,均可作为一个可行解,我们从Σ中任取一点(Ep,σp),其对应的配置比例为ω⃗p。
下面,考虑该内部配置为ω⃗p,预期收益为Ep,标准差为σp的风险资产与无风险资产的配置问题。
从Chapter 6 中可以知道,效用函数取最大值Up时,效用无差异曲线与资本配置线相切,且Up随着资本配置线的夏普比率S增大而增大。
证明:
U=E−12Aσ2⇒U=Ef+y(Ep−Ef)−12Aσ2py2⇒最大值Up=(Ep−Ef)22Aσ2p+Ef=S22A+Ef 进一步考虑,什么样的(Ep,σp)会使Up取最大值。通过图像可知,与Σ左上边界线相切的资本配置线有着最大的S值,因而对应着
Up,max ,此时的配置比例即为最优配置。