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三角函数是基本初等函数之一，也是中学阶段很重要的一部分内容。初中阶段以直角三角形为基础，认识和了解锐角三角函数，而高中则是广义的三角函数，在平面直角坐标系中定义三角函数，可以是任意角的三角函数。
三角函数有很多公式，如倍角正弦公式：sin2θ=2sinθcosθ。小编曾在初中范围内推导出该公式。本文先回顾以前几种推导，由于极限在初中范围，假设2θ是不超过的90°角，其实只要学了广义的三角函数，我们的下面的推导可以打破直角的界限。
构造倍角，小编想到的是同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、等腰三角形三线合一以及菱形的对角线平分一组对角，下面一一推导：
同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍
假设圆的半径是1，构造单位圆：若∠P=θ，过点P作一半径为1的圆与∠P的两边分别交于点B、C，为构造直角三角形和二倍角2θ，作直径AB，连接AC、OC、BC，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠A=∠P=θ，∠COB=2θ，∠ACB=∠CDO=90°，
OA=OB=OC=1，
故AB=OA+OB=2，AC=AB●cosθ=2cosθ，
BC=AB●sinθ=2sinθ，CD=OC●sin2θ=sin2θ;
根据 Rt∆ABC 的面积，我们易有：
AB●CD=AC●BC=2S△ABC，
即2sin2θ=2sinθ×2cosθ，
故 sin2θ=2sinθcosθ 。证毕。
等腰三角形三线合一
构造等腰∆ABC，使AB=AC=1，∠BAC=2θ，过点A作AD⊥BC于点D，∠BAD=θ，过点B作BE⊥AC于点E，
则BD=AB●sinθ=sinθ，
BC=2BD=2sinθ，AD=AB●cosθ=cosθ，
BE=AB●sin2θ=sin2θ;
而
证毕。
菱形的对角线平分一组对角
构造菱形ABCD，使其边长为1，且∠BAC=2θ，作对角线AC、BD，过点D作DE⊥AB于点E；则AB=AD=1，∠BAO=θ；
从而BO=AB●sinθ=sinθ，
AO=AB●cosθ=cosθ，
DE=AD●sin2θ=sin2θ;
类似于上一种推导，由菱形的面积可得：
证毕。
以上三种推导，是小编以前想到的，近来从直角三角形三角函数最初的意义重新推导，寻找某些特殊边的几何意义，从而得到下面的证明：
矩形对角线形成的等腰三角形和直角三角形
矩形ABCD中，CD=a，AD=b，AC=c，∠DAC=θ，过点D作DE⊥AC于点E；易得∆AOD是等腰三角形，∠ODA=∠DAC=θ，
则∠DOC=∠ODA+∠DAC=2θ；
证毕。
关于这个推导，我们继续尝试是否可以继续简化，矩形在左下角的Rt∆ABC几乎没有这么涉及，因此我们只需做出直角三角形以及直角三角形斜边上的高以及中线，并根据斜边上的中线等于斜边的一半，问题可以迎刃而解！
或许通过下面这个图形，
你可以很容易得出结论！
平面几何或许比较简单，但是一些基础图形中或许隐含了我们尚未发现的性质，或者通过一定的构造可以找出一些往后要学习的性质，可能这样有时会很有趣。
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