归纳于:三角函数有理式积分---bilibili
目录
一、什么是三角函数有理式
二、常用几类解题方法
1.基于对称性的变换
2.万能公式(实在无法解题再考虑使用)
3.“1”的用处
4.倍半角的用处
5.∫ sinαx sinβx dx ∫ sinαx cosβx dx∫ cosαx cosβx dx
6.∫ (sinx)^α(cosx)^β dx
①α,β至少有一个奇数 => 谁为奇数,就将谁往dx里凑
②α,β都为偶数(将次)
例题:
一、什么是三角函数有理式
三角函数和常数经过有限次四则运算得到的
二、常用几类解题方法
1.基于对称性的变换
①R(sinx,-cosx)= -R(sinx,cosx) 令t=sinx
②R(-sinx,cosx)= -R(sinx,cosx) 令t=cosx
③R(-sinx,-cosx)= R(sinx,cosx) 令t=tanx
2.万能公式(实在无法解题再考虑使用)
令t = tan(x / 2)
sinx = 2t / (1+t²)
cosx = (1-t²) / (1+t²)
dx = 2 / (1+t²) dt
tanx = sinx/cosx=2t / (1-t²)
3.“1”的用处
sin²x + cos²x = 1
(sin²x + cos²x)^α = 1 (构造齐次式)
sec²x = tan²x+1
csc²x = cot²x+1
4.倍半角的用处
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = 2cos²x-1 = 1-2sin²x = cos²x-sin²x
5.∫ sinαx sinβx dx ∫ sinαx cosβx dx∫ cosαx cosβx dx
两类三角函数(1次幂)相乘 => 积化和差
如何巧记「积化和差」与「和差化积」公式?---知乎