1. 多旋翼螺旋桨动力学模型 1.1. 螺旋桨几何位置基本描述1.2. 螺旋桨拉力及拉力力矩1.3. 螺旋桨反扭力矩1.4. 螺旋桨陀螺力矩1.5. 螺旋桨动力学方程

1. 多旋翼螺旋桨动力学模型

1.1. 螺旋桨几何位置基本描述

坐标系分为多旋翼机体重心坐标系ob−xbybzbo_b-x_by_bz_bob​−xb​yb​zb​及螺旋桨坐标系op−xpypzpo_p-x_py_pz_pop​−xp​yp​zp​，右手系，zzz轴向下，其中obo_bob​至opo_pop​的距离向量为r⃗\vec{r}r，机体系到螺旋桨系的旋转矩阵为RbpR_b^pRbp​(由螺旋桨安装姿态角确定)。

螺旋桨几何位置：

1.2. 螺旋桨拉力及拉力力矩

螺旋桨拉力在螺旋桨坐标轴下记为

Ffb⃗=[FxpFypFzp]\vec{F_{fb}} = \left[ \begin{matrix}F_{xp}\\F_{yp}\\F_{zp}\end{matrix} \right] Ffb​​=⎣⎡​Fxp​Fyp​Fzp​​⎦⎤​

考虑常规螺旋桨，拉力方向垂直于旋转平面，即只有zzz轴拉力不为零，其他两轴的拉力为零。

体轴下螺旋桨拉力为:

Ffb⃗=(Rbp)−1⋅Ffb⃗=(Rbp)−1⋅[FxfpFyfpFzfp]\vec{F_{fb}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \vec{F_{fb}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right] Ffb​​=(Rbp​)−1⋅Ffb​​=(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​

考虑螺旋桨安装位置，螺旋桨对机体产生的力矩为：

Mfb⃗=r⃗×Ffb⃗=r⃗×((Rbp)−1⋅[FxfpFyfpFzfp])\vec{M_{fb}} = \vec{r} \times \vec{F_{fb}} = \vec{r} \times \left((R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right]\right) Mfb​​=r×Ffb​​=r×⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​⎠⎞​

考虑螺旋桨安装位置常规与重心处于同一平面，结合图示中螺旋桨位置，位置矢量可写为:

r⃗=[l⋅cos(θ)l⋅sin(θ)0]\vec{r} = \left[ \begin{matrix} l \cdot cos(\theta)\\ l \cdot sin(\theta)\\ 0 \end{matrix} \right] r=⎣⎡​l⋅cos(θ)l⋅sin(θ)0​⎦⎤​

1.3. 螺旋桨反扭力矩

螺旋桨反扭力矩在螺旋桨坐标轴下记为

Mmp⃗=[MxmpMympMzmp]\vec{M_{mp}} = \left[ \begin{matrix}M_{xmp}\\M_{ymp}\\M_{zmp}\end{matrix} \right] Mmp​​=⎣⎡​Mxmp​Mymp​Mzmp​​⎦⎤​

考虑常规螺旋桨，反扭力矩方向垂直于旋转平面，即只有zzz轴反扭力矩不为零，其他两轴的反扭力矩为零。

体轴下螺旋桨反扭力矩为

Mmb⃗=(Rbp)−1⋅Mmp⃗=(Rbp)−1⋅[MxmpMympMzmp]\vec{M_{mb}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \vec{M_{mp}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} M_{xmp}\\M_{ymp}\\M_{zmp} \end{matrix} \right] Mmb​​=(Rbp​)−1⋅Mmp​​=(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Mxmp​Mymp​Mzmp​​⎦⎤​

1.4. 螺旋桨陀螺力矩

螺旋桨作为旋转部件，在其旋转过程中由于随飞行器姿态变动，其转轴方向会发生变动，因此会引起陀螺力矩作用于机体。

当螺旋桨以角速度ωp⃗\vec{\omega_p}ωp​​（螺旋桨坐标系）绕旋转轴旋转时，飞行器姿态变化引起螺旋桨转轴方向发生变动，变化为角速率Ω⃗\vec{\Omega}Ω，则由赖柴耳定理及陀螺的近似理论知，此时作用于螺旋桨的外力矩 M0⃗=Ω⃗×Iω⃗=Ω⃗×H⃗\vec{M_0} = \vec{\Omega} \times I\vec{\omega} = \vec{\Omega} \times \vec{H}M0​​=Ω×Iω=Ω×H， 而陀螺力矩MG⃗=−M0⃗=Iω⃗×Ω⃗=H⃗×Ω⃗\vec{M_G} = -\vec{M_0} = I\vec{\omega} \times \vec{\Omega} = \vec{H} \times \vec{\Omega}MG​​=−M0​​=Iω×Ω=H×Ω。式中III是螺旋桨对自转轴轴的转动惯量，H⃗\vec{H}H是螺旋桨的角动量。（参考百度百科陀螺力矩词条）注意：上述公式中各向量应为同一坐标系下的向量。考虑体轴角速率为[pqr]′[p\ q\ r]'[pqr]′，则可分别写出螺旋桨轴下螺旋桨陀螺力矩和机体轴下陀螺力矩如下：

螺旋桨轴

Mgp⃗=Hp⃗×Ωp⃗=[HxpHypHzp]×(Rbp⋅[pqr])\vec{M_{gp}} = \vec{H_p} \times \vec{\Omega_p} =\left[ \begin{matrix} H_{xp}\\H_{yp}\\H_{zp} \end{matrix} \right] \times \left( R_b^p \cdot \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] \right) Mgp​​=Hp​​×Ωp​​=⎣⎡​Hxp​Hyp​Hzp​​⎦⎤​×⎝⎛​Rbp​⋅⎣⎡​pqr​⎦⎤​⎠⎞​

机体轴

Mgb⃗=Hb⃗×Ωb⃗=[HxbHybHzb]×[pqr]=((Rbp)−1⋅[HxpHypHzp])×[pqr]\vec{M_{gb}} = \vec{H_b} \times \vec{\Omega_b} =\left[ \begin{matrix} H_{xb}\\H_{yb}\\H_{zb} \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] = \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} H_{xp}\\H_{yp}\\H_{zp} \end{matrix} \right] \right) \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] Mgb​​=Hb​​×Ωb​​=⎣⎡​Hxb​Hyb​Hzb​​⎦⎤​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​=⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Hxp​Hyp​Hzp​​⎦⎤​⎠⎞​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​

考虑常规螺旋桨，旋转轴与螺旋桨zzz轴重合，即只有zzz轴角动量不为零，其他两轴的角动量为零。

1.5. 螺旋桨动力学方程

综合上述力、力矩方程，可写出螺旋桨动力学方程如下：

[Fb⃗Mb⃗]=[Ffb⃗Mfb⃗+Mmb⃗+Mgb⃗]=[(Rbp)−1⋅[FxfpFyfpFzfp]r⃗×((Rbp)−1⋅[FxfpFyfpFzfp])+(Rbp)−1⋅[MxmpMympMzmp]+((Rbp)−1⋅[HxpHypHzp])×[pqr]]\begin{aligned} \left[ \begin{matrix} \vec{F_b} \\ \vec{M_b} \end{matrix} \right] =& \left[ \begin{matrix} \vec{F_{fb}} \\ \vec{M_{fb}} + \vec{M_{mb}} + \vec{M_{gb}} \end{matrix} \right] \\ =& \left[ \begin{matrix} (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right] \\ \vec{r} \times \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right] \right) + (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} M_{xmp}\\M_{ymp}\\M_{zmp} \end{matrix} \right] + \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} H_{xp}\\H_{yp}\\H_{zp} \end{matrix} \right] \right) \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] \end{matrix} \right] \end{aligned} [Fb​​Mb​​​]==​[Ffb​​Mfb​​+Mmb​​+Mgb​​​]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​r×⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​⎠⎞​+(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Mxmp​Mymp​Mzmp​​⎦⎤​+⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Hxp​Hyp​Hzp​​⎦⎤​⎠⎞​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

考虑常规螺旋桨，以图示螺旋桨为例，螺旋桨顺时针旋转，螺旋桨拉力为FFF，反扭力矩为MMM，Z轴转动惯量为IzzI_{zz}Izz​，螺旋桨转速为ω\omegaω，位置矢量为[lcos(θ)lsin(θ)0]′[lcos(\theta)\ lsin(\theta)\ 0]'[lcos(θ)lsin(θ)0]′，上述各量均为标量，螺旋桨动力学方程可简化为：

[Fb⃗Mb⃗]=[(Rbp)−1⋅[00−F][lcos(θ)lsin(θ)0]×((Rbp)−1⋅[00−F])+(Rbp)−1⋅[00−M]+((Rbp)−1⋅[00ωIzz])×[pqr]]\begin{aligned} \left[ \begin{matrix} \vec{F_b} \\ \vec{M_b} \end{matrix} \right] =& \left[ \begin{matrix} (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\-F \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} lcos(\theta)\\ lsin(\theta)\\ 0 \end{matrix} \right] \times \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\-F \end{matrix} \right] \right) + (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\-M \end{matrix} \right] + \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\\omega I_{zz} \end{matrix} \right] \right) \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] \end{matrix} \right] \end{aligned} [Fb​​Mb​​​]=​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00−F​⎦⎤​⎣⎡​lcos(θ)lsin(θ)0​⎦⎤​×⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00−F​⎦⎤​⎠⎞​+(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00−M​⎦⎤​+⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00ωIzz​​⎦⎤​⎠⎞​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

PS1:螺旋桨顺时针旋转，在机体坐标系下，zzz轴反扭力矩为负，zzz轴角动量为正。

PS2:上述公式中“×\times×”运算符代表求向量积，对于向量A，BA，BA，B及其向量积CCC，运算关系如下：

A=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗B=b1i⃗+b2j⃗+b3k⃗C=A×B=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2)i⃗+(a3b1−a1b3)j⃗+(a1b2−a2b1)k⃗\begin{aligned} A =&\ a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}\\ B =&\ b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}\\ C =&\ A \times B =\ \left| \begin{matrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{matrix} \right|\\ =&\ (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k} \end{aligned} A=B=C==​a1​i+a2​j​+a3​kb1​i+b2​j​+b3​kA×B=∣∣∣∣∣∣​ia1​b1​​j​a2​b2​​ka3​b3​​∣∣∣∣∣∣​(a2​b3​−a3​b2​)i+(a3​b1​−a1​b3​)j​+(a1​b2​−a2​b1​)k​

(参考matlab向量积定义)