LC串联振荡电路
原理分析:第一阶段:初始状态:合上开关,iL=0,uC=0V,uL=12V,diL/dt=+max,之后:电感电流逐渐增大,电容电压逐渐增大,电感电压逐渐减小,电感电流变化率逐渐减小,电源向电感充磁,向电容充电;第二阶段:初始状态:iL=+max,diL/dt=0,uL=0V,uC=12V,之后:由于电感电流不能突变,因此电感电流逐渐减小,电感电流的变化率逐渐增大,电感电压反向且逐渐增大,电容电压继续增加,uC=12+uL,电感向电容充电,电感消磁;第三阶段:初始状态:iL=0,uL=-12V,diL/dt=max,uC=24V,之后:由于电容电压不能突变,因此电容电压逐渐减小,电感电流逐渐增大,电感电压逐渐减小,电感电流变化率逐渐减小,电容向电感充磁,电容放电;第四阶段:初始状态:iL=-max,uL=0V,diL/dt=0,uC=12V,之后:由于电感电流不能突变,因此电感电流逐渐减小,电感电压逐渐增大,电感电流变化率逐渐增大,电容电压逐渐减小,电感消磁,电容放电。
数学分析:
1、假设电感初始电流为IL0{I}_{L0}IL0,电容初始电压为UC0{U}_{C0}UC0。
电路的微分方程为:LdiLdt+uC=usL\frac{d{i}_{L}}{dt}+{u}_{C}={u}_{s}LdtdiL+uC=us CduCdt=iLC\frac{d{u}_{C}}{dt}={i}_{L}CdtduC=iL us为直流电压源电压。
解方程得:iL(t)=IL0cosωt+us−UC0Zsinωt{i}_{L}(t)={I}_{L0} cos \omega t+ \frac{{u}_{s} -{U}_{C0} }{Z} sin \omega t iL(t)=IL0cosωt+Zus−UC0sinωt uC(t)=us−(us−UC0)cosωt+ZIL0sinωt{u}_{C}(t)={u}_{s} - ({u}_{s}-{U}_{C0}) cos \omega t+ Z {I}_{L0} sin \omega t uC(t)=us−(us−UC0)cosωt+ZIL0sinωt
式中:ω\omegaω是谐振角频率,ω=1/LC\omega = 1 / \sqrt{LC}ω=1/LC,谐振频率f=12πLCf=\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}f=2πLC1,Z是谐振电感和谐振电容得特性阻抗 Z=LCZ=\sqrt{\frac{L}{C}}Z=CL。
2、假设电感初始电流为0,电容初始电压为0。
解方程得:iL(t)=usZsinωt{i}_{L}(t)= \frac{{u}_{s}}{Z} sin \omega t iL(t)=Zussinωt uC(t)=us−uscosωt{u}_{C}(t)={u}_{s} - {u}_{s}cos \omega t uC(t)=us−uscosωt
LC串联振荡电路波形:
余弦波(channel_B)为电感电压,半波(channel_A)为电容电压。
LC串联振荡电路+电阻
LC串联振荡电路+电阻波形:
电路工作在欠阻尼R<2L/CR<2\sqrt{L/C}R<2L/C状态。
LC并联振荡电路