等和线解法已经补充。
-----------------------------------原文章---------------------------------
最近做了各地的一模卷,(默默吐槽常州放水严重),做到南京一模的时候,遇到了一个比较有意思的向量题,所以拿来分享。
第一眼看见垂心,所以打算用两个垂直来解决。
方法一:
如图:
已知
,且
所以
因为
是垂心,所以
设
,则 ,
所以
我想了想,看了锤子的解析,从而想到运用奔驰定理。
奔驰定理:对于 内一点 ,记 , , ,则
具体可以看董佬的文章,
Dylaaan:【平面向量】三角形中超好用的“奔驰定理”
当P点是垂心时,
方法二:
因为
,所以我们可以得到
即
又因为
所以设
又因为在三角形ABC中,
所以
所以,易得
这种情况当然也少不了建系。
方法三:
如图:
设
则
所以
因为H是垂心,所以
化简得
故
又因为
所以
显然
一道题在这里写了三种方法,其实是还有其他方法,比如也可以利用等和线得出AC=BC,再用余弦定理,也可以。方法很多,我们要做的是寻找出最优美的一条。
最后用一位dalao说的话作为结尾。
PS:这里是被初等数学所支配的蒟蒻Lie(orz)
初次写问,如果有什么错误的话请指出鸭。
----------------------------------------方法四-------------------------------------
关于等和线,可以去看这篇文章:
数学老师心里苦:【技巧篇】向量之等和线法
用兮兮的话说就是:向量共线的表达往相似三角形的推广(ღ( ´・ᴗ・` )比心)
方法四:
已知
,且
所以
显然,H过AB的中点,又因为H是垂心,所以三线合一可得AC=BC。
就得到了三个关系式,化简可得:
将
带入得,
易得,
故