可测函数列的几乎一致收敛于几乎处处收敛

定义1：设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1​(x),f2​(x),⋯,fk​(x),⋯是定义在点集EEE上的实值函数。若对于任意ε>0\varepsilon > 0ε>0，存在K∈NK \in \mathbb{N}K∈N，使得对于任意k≥Kk \ge Kk≥K，任意x∈Ex \in Ex∈E，有∣fk(x)−f(x)∣<ε,|f_k(x)-f(x)|<\varepsilon,∣fk​(x)−f(x)∣<ε,则称{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk​(x)}在EEE上一致收敛到fff，记作fk⟹ff_k \Longrightarrow ffk​⟹f或fk⟶uff_k \stackrel{\mathrm{u}}{\longrightarrow}ffk​⟶u​f（其中u\mathrm{u}u表示一致）。

定义2：若EEE是可测集，若∀δ>0\forall \delta > 0∀δ>0，∃Eδ⊂E\exists E_{\delta} \sub E∃Eδ​⊂E，使得m(E\Eδ)<δm(E\backslash E_{\delta})< \deltam(E\Eδ​)<δ，在EδE_{\delta}Eδ​上fk⟹ff_k \Longrightarrow ffk​⟹f，则称{fk(x)}\{f_{k}(x)\}{fk​(x)}在EEE上几乎一致收敛到fff，记作fk⟶a.u.ff_k \stackrel{\mathrm{a.u.}}{\longrightarrow}ffk​⟶a.u.​f（其中a.u.\mathrm{a.u.}a.u.表示几乎一致）。

定义3：设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1​(x),f2​(x),⋯,fk​(x),⋯是定义在点集E⊂RnE \sub \mathbb{R}^nE⊂Rn上的广义实值函数。若存在EEE中点集ZZZ，有m(Z)=0m(Z)=0m(Z)=0，及对每个元素x∈E\Zx \in E \backslash Zx∈E\Z，有lim⁡k→∞fk(x)=f(x)\lim\limits_{k \rightarrow \infty}f_k(x)=f(x)k→∞lim​fk​(x)=f(x)，则称{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk​(x)}在EEE上几乎处处收敛于f(x)f(x)f(x)，并简记为fk→ff_k \rightarrow ffk​→f，a.e.[E]\mathrm{a.e.}[E]a.e.[E]或fk⟶a.e.ff_k \stackrel{\mathrm{a.e.}}{\longrightarrow} ffk​⟶a.e.​f。

定理1（叶戈罗夫定理）：设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1​(x),f2​(x),⋯,fk​(x),⋯是可测集EEE上 几乎处处有限的可测集，并且m(E)<∞m(E)< \inftym(E)<∞，若fk⟶ff_k \longrightarrow ffk​⟶f，a.e.[E]\mathrm{a.e.}[E]a.e.[E]，则{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk​(x)}几乎一致收敛于f(x)f(x)f(x)。