一.麦克斯韦方程组二.电磁波动方程三.矢量磁位和标量电位
还是从麦克斯韦方程推出电磁场的波动方程：
一.麦克斯韦方程组
①：▽×H=J+∂D∂t▽×H=J+∂D∂t
②：▽×E=−∂B∂t▽×E=−∂B∂t
③：▽⋅B=0▽⋅B=0
④：▽⋅D=ρ▽⋅D=ρ
其中：
D=εED=εE
B=μHB=μH
二.电磁波动方程
把①②都再求一次旋度：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪▽×▽×H=▽×J+▽×∂D∂t▽×▽×E=−▽×∂B∂t{▽×▽×H=▽×J+▽×∂D∂t▽×▽×E=−▽×∂B∂t⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+▽×∂D∂t▽(▽⋅E)−▽2E=−▽×∂B∂t{▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+▽×∂D∂t▽(▽⋅E)−▽2E=−▽×∂B∂t
其中：
▽×∂D∂t=▽×D∂t=ε▽×E∂t=ε−∂B∂t∂t=ε∂2B∂t2=με∂2H∂t2▽×∂D∂t=▽×D∂t=ε▽×E∂t=ε−∂B∂t∂t=ε∂2B∂t2=με∂2H∂t2
▽×∂B∂t=∂▽×B∂t=μ∂▽×H∂t=μ∂(J+∂D∂t)∂t=μ∂J∂t+μ∂2D∂t2=μ∂J∂t+με∂2E∂t2▽×∂B∂t=∂▽×B∂t=μ∂▽×H∂t=μ∂(J+∂D∂t)∂t=μ∂J∂t+μ∂2D∂t2=μ∂J∂t+με∂2E∂t2
辣么上式化为：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(▽⋅E)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2){▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(▽⋅E)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2)
又∵∵③和④
于是：
▽(▽⋅H)=0▽(▽⋅H)=0
▽(▽⋅E)=▽(ρε)▽(▽⋅E)=▽(ρε)
式子又简化成：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(ρε)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2){−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(ρε)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2)
再弄成右边只有源且排列整齐：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t{▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t
然后就是两个规范：
三.矢量磁位和标量电位
⑤库伦规范：B=▽×AB=▽×A
⑥洛伦兹规范：▽⋅A+με∂φ∂t=0▽⋅A+με∂φ∂t=0
其中AA是矢量磁位，
为什么我们要弄个什么矢量磁位和标量电位的呢？
你看，上面那些源不是求散度就是求旋度，正常情况下根本就不好求，所以才会有这样一种东西～
现在将⑤代入②会得到：
▽×E=−▽×∂A∂t▽×E=−▽×∂A∂t
即：
▽×(E+∂A∂t)=0▽×(E+∂A∂t)=0
但是这种不好看，想写成这样：
▽×▽φ=0▽×▽φ=0
当E=−▽φ−∂A∂tE=−▽φ−∂A∂t就好了
这样EE和
于是，把EE和
最后写出来就是这样的：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε{▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε
对比一下，是不是后一个非常简介呢：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t{▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε{▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε
后两个就叫做”达朗贝尔方程”
