今天学习Hilbert空间，在知乎上查找了一些资料，知道了这几个空间的区别与联系。（仅做个人知识学习笔记）
贴上链接：/question/19967778/answer/28403912
线性空间：由基底和坐标定义的空间，只有加法和数乘的运算。
如果想要知道向量的长度，我们就给它加上范数的定义，由线性空间变成了赋范线性空间。
如果想要知道向量的角度，我们就给它加上內积的定义，由线性空间变成了內积空间。
内积的有限维实线性空间称为欧式空间
如果想要研究收敛性，我们就给它加上极限的定义，由线性空间变成了完备空间。
由赋范线性空间加上完备的概念，我们就得到了Banach空间
由内积空间加上完备的概念，我们就得到了Hilbert空间
Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.
建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.
