包括两种内积空间：
（1）实内积空间（欧氏空间）
（2）复内积空间（酉空间）
本节讲欧氏空间，包括四个部分：
（1）欧氏空间
（2）正交性
（3）正交变换与正交矩阵
（4）对称变换与对称矩阵
欧氏空间
欧氏空间即是实内积空间
定义：
（1）欧氏空间：实数域上的 V 定义两向量到实数的映射 (x,y)，满足交换律、分配率、齐次性、非负性，称为内积，V 称为内积空间或欧氏空间；
（2）相关定义：度量矩阵（Gram 矩阵、基两两内积），度量矩阵下 (x,y)=ξTAη，其中 ξ,η 为坐标，长度（模、范数）、单位向量、单位化/规范化），夹角 <x,y>=arccos(x,y)∥x∥∥y∥<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">= \text{arccos}\frac{(x,y)}{\|x\|\|y\|}</script>；
（3）不等式：三角不等式 ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥，∥(x,y)∥≤∥x∥∥y∥。
结论：
（1）合同：同一线性空间不同基的度量矩阵是合同的 B=CTAC。
正交性
内积为零称为成交。
定义：
（1）正交性：两向量正交/垂直、零向量与任何向量正交，正交向量组，正交基、标准正交基、单位坐标向量，标准正交基的坐标可由内积表达出来 x=(x,x_1)x_1+⋯+(x,x_n)x_n，正交单位化/规范化，正交补空间（Vn 中所有与 V_1 正交的向量的集合），齐次方程组的解空间是系数向量组的正交补空间；
（2）相关结论：
① x⊥y，则 ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2；
② 正交向量组必线性无关；
③ 标准正交基的充要条件是其度量矩阵为单位阵；
④ 任一非零欧氏空间都有正交基和标准正交基；
⑤ 若 x_1,⋯,x_m 与 y 正交，则其线性组合也与
⑥ y 与
⑦ Vn=V_1⊕V_1⊥，dimV_1+dimV_1⊥=n；
⑧ R⊥(A)=N(AT),R⊥(AT)=N(A),R(A)⊕N(AT)=ℝm,R(AT)⊕N(A)=ℝn，复数域中 AT 改成 AH 同样成立。
（证明 ⑧：R⊥(A)={y∥y⊥k_1α_1+⋯+k_nα_n} ={y∥y⊥α_j,j=1,⋯,n} ={y∥α_jTy=0}={y∥ATy=0} =N(AT)）。
计算：
（1）标准正交基：① 取一组基；② Schmidt 正交化；③ 单位化。
正交变换与正交矩阵
定义：使向量长度不变的变换，即是正交变换。
（1）正交变换：正交变换 (x,x)=(Tx,Tx)、充要条件为 (x,y)=(Tx,Ty)（证：用 (x−y,x−y)=(T(x−y),T(x−y))），正交矩阵（QTQ=I 或 QT=Q−1）、充要条件是其列向量为两两正交的单位向量；
（2）充要条件：T 是正交变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是正交矩阵（注意，对于非标准正交基，
（3）推论：正交矩阵非奇异；交阵的乘积、逆仍是正交阵；正交变换的乘积、逆仍是正交变换；标准正交基的过渡矩阵为正交阵。
对称变换与对称矩阵
定义：实对称阵的特征值必是实数，且不同特征值的特征向量必正交。
（1）对称变换：(Tx,y)=(x,Ty)，T<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">T</script> 是对称变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵；
（2）相关结论：① 实对称矩阵的特征值都是实数；② 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。
