什么是投影变换
在了解仿射几何和欧几里得几何之前，我们需要了解什么什么是投影变换：可以举一个生活中的例子，在我们看一张相片得时候，我们会看到圆形在图片中不会呈现圆形得形状，方形在图片中不会呈现方形得形状，那么这种映射平面中的物体到图片中的变换就成之为投影转换。
投影变换中不变的几何属性
那么哪些几何属性在投影变换中是不会改变的呢？首先，我们可以排除形状，因为我们刚才所提到的，现实中的圆形在图片中就会被看成是椭圆形。那么当然也不会是长度，因为圆的两个垂直半径会在投影转换中被伸展为不同的长度。那么同理，角度，距离，距离比例这些量都不会在投影变换中被保留。那么唯一被保留下来的几何属性是什么呢？我们称其为直线性（straightness）。事实证明，这是对映射的最一般要求，我们可以将平面的投影变换定义为平面上保持直线的点的任何映射。
由欧几里得空间到投影空间
为了了解为什么需要投影几何学（投影空间），我们需要从我们熟知的欧几里得几何学开始说起。那么欧几里得几何学主要描述的是物体的角度和形状，但是欧几里得几何学不是完美的，对于几何学的一些基本概念，我们需要不断地给出特例去推理这些概念，例如线之间的相交。在二维空间中，两条线总是相交于一点的，但是也有一些线之间是不会相交的，我们称这些线为平行线，我们想要绕开这一点去解释就只能说他们在无限远处相交，然而，这并不是完全令人信服的，因为这与另一条公理相违背，即：无穷是不存在的，无穷只是方便我们解释而虚构出来的一个概念，那么我们想再绕开这一点就只能增加平行线在无穷远处的交点，并称这些点为理想点，由此我们增强了欧几里得平面。
那么通过增加这些在无限远处的理想点，我们熟悉的欧几里得空间就会转换为另一种空间–投影空间。这是一种非常有用的思维方式，因为我们熟悉欧几里德空间的性质，包括距离、角度、点、线和关联等概念。射影空间并没有什么神秘之处——它只是欧几里德空间的一个扩展，在投影空间中，两条直线总是在一个点上相交，尽管有时在无穷远处的神秘点上相交。
齐次坐标系
我们在这里要介绍一个非常重要的概念–齐次坐标系。我们依然据刚刚平行线的例子，在欧式几何空间中，两条平行的直线是不能相交的，然而，在投影空间中，是可以相交的。比如下图的铁路，在无穷远的地方交为一点。
在笛卡尔坐标系中，一个2维点可以表示为(x,y)( x , y )(x,y) 。如果这个点事无穷远，该怎么表示呢？无穷远的点应该表示为(∞,∞)(\infty,\infty)(∞,∞)，这样的表示毫无意义。在投影空间中，两个平行的直线相交于无穷远的一点，这在欧式空间中是无法表示的，但是数学家们已经找到了方法来解决这个问题，就是引入齐次坐标系。
简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标。
我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成 2D齐次坐标。因此，一个在笛卡尔坐标系下的点(X,Y)(X, Y)(X,Y)在齐次坐标里面变成了 (x,y,w)(x,y,w)(x,y,w)。
并且有X=x/w,Y=y/wX=x/w,Y=y/wX=x/w,Y=y/w
例如，笛卡尔坐标系下 (2,3)(2,3)(2,3)齐次坐标可以表示为(2,3,1)(2,3,1)(2,3,1) ，如果点 (2,3)(2,3)(2,3)移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为 (∞,∞)(\infty,\infty)(∞,∞) ，然后它的齐次坐标表示为 (2,3,0)(2,3,0)(2,3,0) ，因为 (2/0,3/0)=(∞,∞)(2/0,3/0)=(\infty,\infty)(2/0,3/0)=(∞,∞)。 注意这样的话，我们可以不用 ” (∞,∞)(\infty,\infty)(∞,∞) " 来表示一个无穷远处的点了。
为什么叫齐次坐标系：
如前面所述，我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。
把坐标从齐次坐标转换为笛卡尔坐标，我们可以发现这样一个事实。看下面的例子：
Homogeneous⇔CartesianHomogeneous \Leftrightarrow Cartesian Homogeneous⇔Cartesian
(1,2,3)⇔(1/3,2/3)(1,2,3) \Leftrightarrow (1/3,2/3) (1,2,3)⇔(1/3,2/3)
(2,4,6)⇔(2/6,4/6)=(1/3,2/3)(2,4,6) \Leftrightarrow (2/6,4/6)= (1/3,2/3) (2,4,6)⇔(2/6,4/6)=(1/3,2/3)
(4,8,12)⇔(4/12,8/12)=(1/3,2/3)(4,8,12) \Leftrightarrow (4/12,8/12)= (1/3,2/3) (4,8,12)⇔(4/12,8/12)=(1/3,2/3)
(1a,2a,3a)⇔(1a/3a,2a/3a)=(1/3,2/3)(1a,2a,3a) \Leftrightarrow (1a/3a,2a/3a)= (1/3,2/3) (1a,2a,3a)⇔(1a/3a,2a/3a)=(1/3,2/3)
去哦吗我你会发现 (1,2,3),(2,4,6),(4,8,12)(1,2,3),(2,4,6),(4,8,12)(1,2,3),(2,4,6),(4,8,12) 对应同一个欧几里得点（笛卡尔空间点）(1/3,2/3)(1/3,2/3)(1/3,2/3) 。任何标量的乘积，(1a,2a,3a)(1a,2a,3a)(1a,2a,3a)对应 笛卡尔空间里面的都是 (1/3,2/3)(1/3,2/3)(1/3,2/3) 。因此，这些点是“齐次的 (Homogeneous adj. 同类的，同质的)”，因为他们代表了欧氏空间（笛卡尔坐标空间）里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。
证明齐次坐标系下的两条平行线可以相交
考虑如下欧几里得空间的平行线的方程：
{Ax+By+C=0Ax+By+D=0\left\{ \begin{aligned} Ax+By+C=0 \\ Ax+By+D=0 \\ \end{aligned} \right. {Ax+By+C=0Ax+By+D=0
我们知道在笛卡尔坐标系里面，如果C≠DC\neq DC=D该方程组无解。
在投影空间里中，让我们用齐次坐标 x/w,y/wx/w, y/wx/w,y/w 分别代替 x,yx ,yx,y 重写这个方程：
{Ax/w+By/w+C=0Ax/w+By/w+D=0\left\{ \begin{aligned} Ax/w+By/w+C=0 \\ Ax/w+By/w+D=0 \\ \end{aligned} \right. {Ax/w+By/w+C=0Ax/w+By/w+D=0
可以化为：
{Ax+By+Cw=0Ax+By+Dw=0\left\{ \begin{aligned} Ax+By+Cw=0 \\ Ax+By+Dw=0 \\ \end{aligned} \right. {Ax+By+Cw=0Ax+By+Dw=0
现在我们有一个解(x,y,0)(x,y,0)(x,y,0)，因为(C−D)w=0(C-D)w=0(C−D)w=0,所以w=0w=0w=0 。因此，两条直线相交于(x,y,0)(x,y,0)(x,y,0) ，这个点在无穷远处。
将点转化为齐次坐标
#归一化def normalize(points):for row in points:row/=points[-1]return points#转换齐次坐标def make_homog(points)return vstack((points,ones(1,points.shape[1])))
齐次坐标的意义：
如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)(\infty,\infty)(∞,∞)，在欧氏空间中，这就变得没有意义。如果使用齐次坐标，平行线在透视空间的无穷远处交于一点，这样就实现了对于无穷点的表示，但是在欧氏空间不能表示无穷点。
也就是说:通过利用齐次坐标就可以表示无穷远处的点。
欧几里得空间向投影空间的转换
我们通过把点表示称为齐次向量，就可以完成从欧几里得空间到投影空间的转换。
