首先强烈推荐阅读此篇文章，例子恰如其分，思路清晰明了。/blog/archives/105 /dongwq/article/details/4305435
P问题：可以在多项式时间内解决的问题。但是需要注意此处的多项式时间是针对输入规模而言，对比例子如下：
例子1： n个数字的排序，此时输入是n个数字，时间复杂度是O(nlogn)，可以在多项式时间内解决
例子2：0-1背包问题，输入是n个物品的价值和重量、背包最大承受重量W。在计算机底层可以看到编码长度为n+logn+logW bit（假定每个物品价值和重量占1bit），时间复杂度是O(W*n），对于编码长度（也即输入规模）来说是无法通过多项式计算得到，因此只能是NP问题。（其实它是NPC问题，不过这个需要归约到一种NPC问题，读者可以自行跳过）
NP问题： 不能在多项式时间内解决，但是可以对任何一个实例进行多项式时间内的验证。
例子：寻找长度小于100的哈密顿回路。这个显然不能在多项式时间内解决，但是当你举出一条路径时，可以在多项式时间内验证是否满足。
NPC问题： NPC问题的由来是规约。规约说白了，就是把一个普适性低的问题归约到普适性高的问题，比如把解决一元一次方程归约到解决一元二次方程。显然，当你解决了一元二次方程后，也必然能够解决一元一次方程。因此人们设想，如果把一个NP问题归约到另一个较为复杂的NP问题，这个复杂的NP问题又继续规约，会一直归约到一种情况：出现一个顶级NP问题，只要解决了它，那么所有的NP问题都可以解决。
令人感到惊讶的是，现在已经找到了这类问题，并且还不止一个。最为出名且基础的就是逻辑电路问题（大家可以联想到计算机底层实现，通过输入若干01串来获取输出，具体证明过程很复杂，感兴趣的可以移步算法导论仔细看）。
因此我们要证明一个NPC问题便变得简单起来，只需要证明两点：
第一，它是一个np问题。
第二，现存的NPC问题可以规约至它。
NP-hard 问题：
首先明确，所有的NPC问题都是np-hard问题，但是np-hard问题还包括一些其他的难题。这个也很简单，因为所有的NPC问题都能在多项式时间内给出实例的正误情况，但是也存在一些问题不能在多项式时间内给出实例的正误情况。因此上述两种问题共同组成了NP-hard问题。
