拟凹性：所谓拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线（下凸：斜率从负到零，又继续上升的现象）。亦即对任意两点x、y属于定义域，有：
f ( a x + ( 1 − a ) y ) ≥ m i n [ f ( x ) , f ( y ) ] f(ax+(1-a)y)≥min[f(x),f(y)] f(ax+(1−a)y)≥min[f(x),f(y)]
容易证明：若函数是拟凹的，当且仅当其定义域上的所有上轮廓集（upper contour set）都是凸的（凸集的定义：任意两点的连线被完全包含在集合内）。
参考 人大经济论坛
在最优化问题中，拟凸（凹）函数之所以重要，是因为严格拟凸（凹）函数的约束最优化取值不但是全局最优的，而且是唯一的。（二元变量情形下）拟凹函数满足下列不等式：
f 11 f 2 2 + f 22 f 1 2 − 2 f 12 f 1 f 2 < 0 f_{11}f_2^2+f_{22}f_1^2-2f_{12}f_1f_2<0 f11f22+f22f12−2f12f1f2<0
凹（凸）函数一定是拟凹（凸）函数，但是反之不一定成立
图片来源：维基百科
凸性：偏好的凸性被解释为偏好是边际替代率递减的（不是边际效用递减），注意这里的凸性指的是图像的形状（连接无差异曲线上任意两点的直线在无差异曲线的上方），而不是函数的性质，函数具有的是拟凹性。
这个与数学中的凹凸性是反过来的
上图是具有凸性的无差异曲线
这张图就不具有凸性了，边际替代率不递减
总结：以下几个命题是等价的
无差异曲线是凸的 ⇔ \Leftrightarrow ⇔无差异曲线是拟凹的 ⇔ \Leftrightarrow ⇔边际替代率递减
证明：无差异曲线是拟凹的 ⇔ \Leftrightarrow ⇔边际替代率递减
M R S = − d y d x = U x U y ( 1 ) MRS =-\frac{dy}{dx}= \frac{U_x}{U_y}\qquad (1) MRS=−dxdy=UyUx(1)
d M R S d x = U y ( U x x + U x y d y d x ) − U x ( U y x + U y y d y d x ) U y 2 ( 2 ) \frac{dMRS}{dx} = \frac{U_y(U_{xx}+U_{xy}\frac{dy}{dx})-U_x(U_{yx}+U_{yy}\frac{dy}{dx})}{U_y^2}\qquad (2) dxdMRS=Uy2Uy(Uxx+Uxydxdy)−Ux(Uyx+Uyydxdy)(2)
将(1)代入(2)中得到
d M R S d x = U y ( U x x U y − U x y U x ) − U x ( U y x U y − U y y U x ) U y 3 = U y 2 U x x + U x 2 U y y − 2 U x U y U x y U y 3 \frac{dMRS}{dx} = \frac{U_y(U_{xx}U_y-U_{xy}U_x)-U_x(U_{yx}U_y-U_{yy}U_x)}{U_y^3}=\frac{U_y^2U_{xx}+U_x^2U_{yy}-2U_xU_yU_{xy}}{U_y^3} dxdMRS=Uy3Uy(UxxUy−UxyUx)−Ux(UyxUy−UyyUx)=Uy3Uy2Uxx+Ux2Uyy−2UxUyUxy
因为 U y > 0 U_y>0 Uy>0，即表示效用随着商品（经济品）y的数量增加而增加。
故 d M R S d x < 0 ⇔ U y 2 U x x + U x 2 U y y − 2 U x U y U x y < 0 \frac{dMRS}{dx}<0 \Leftrightarrow U_y^2U_{xx}+U_x^2U_{yy}-2U_xU_yU_{xy}<0 dxdMRS<0⇔Uy2Uxx+Ux2Uyy−2UxUyUxy<0
即证明无差异曲线是拟凹的和边际替代率递减是等价的。
再辨析两个概念：边际效用递减和边际替代率递减
边际效用递减的数学表达式是 U x x < 0 , U y y < 0 U_{xx}<0,U_{yy}<0 Uxx<0,Uyy<0
我个人非常容易将 U x U_x Ux当成边际效用递减， U x U_x Ux表示的是边际效用，递减描述的是他的性质，还得再求一次导。
边际替代率递减数学表达式是与拟凹函数的判定式是一致的，即 U x x 2 U y + U y y 2 U x − 2 U x U y U x y < 0 U_{xx}^2U_y+U_{yy}^2U_x-2U_xU_yU_{xy}<0 Uxx2Uy+Uyy2Ux−2UxUyUxy<0，有很多书上说边际效用递减可以推出边际替代率递减，这是不够严谨的，两者的确切关系非常复杂。边际效用递减的假定（二阶偏导数为负数）不足以保证函数的拟凹性（还要考虑交叉项 U x y U_{xy} Uxy）
例题（北大经院）判断正误：如果某效用函数为U(X,Y)，且 U x y = 0 U_{xy}=0 Uxy=0，那么边际效用递减是边际替代率递减的充分条件（√）
