1 算法原理
如果期望信号的到达角和带宽范围已知，那么可以先对阵列接收数据进行时延补偿，使阵列对期望信号的接收保持一致性，然后对阵列系数强加约束条件以自适应的使波束形成器输出能量E{y(t)*y(t)}最小，等效于使输出信号中非期望方向的噪声能量最小，从而达到增强期望方向信号的目的。这就是线性约束最小方差(LCMV)波束形成器。
波束形成器的响应是频率ω和到达角θ的函数，为了保证一个频率为ω0、到达角为θ0的信号有指定的响应G0(复常量)，则约束条件可写成
wHd(θ0,ω0) = G0
波束形成器的输出能量为
E{|y[n]|2} =wHRxxw
其中Rxx为观察数据的自相关矩阵，可表示为
Rxx = E{xxH}
从而LCMV波束形成问题归结于
经过时延补偿，期望信号同一成分将同时到达传感器并通过快拍延迟线，因此，其结构等效于一个FIR滤波器，图1所示，其中
式中j= 0，1，…，J-1。
图1 宽带波束形成器等效结构
扩展到多个到达角和多个频率的一般情况，可得一般约束条件
CHw=f
式中
f= [f[0] f[1] …f[J-1]]T
C= [(c00…0)T (0 c0 …0)T … (0 0…c0)T] ∈CMJ*J
c0 = [1 1 … 1]T∈CM*1
C称为约束矩阵，f称为响应向量。
2 最优权向量
运用拉格朗日乘法，引入拉格朗日算子λ，在目标函数E{|y[n]|2}=wHRxxw后加上约束函数的实部CHw-f，即
wHRxxw +λH(CHw-f) +λT(CTw*-f*)
拉格朗日乘子使得上式第二项和第三项的梯度是线性独立的，即C的每列是满秩的。对上式关于w*微分得
Rxxw+Cλ
令其等于0，即可解得最优权向量
wopt =-Rxx -1Cλ
将其代入CHw=f，得
-CHRxx-1Cλ=f
解出λ并代回wopt =-Rxx-1Cλ，即可得LCMV波束形成器最优权向量
wopt =-Rxx-1C(CHRxx-1C)-1f
3 算法仿真
Matlab仿真代码如下：
%%%LCMV在多个来波方向约束下波束形成%%%clc;clear all;close all;ima=sqrt(-1);esp=0.01;%%天线参数设定%%N=16; %阵元数d_lamda=0.5; %阵元间距与波长的比值theta=-90:0.5:90; %搜索范围确定theta1=-10; %来波方向1theta2=0;%来波方向2theta3=40; %来波方向3theta_jam=70; %干扰方向L=512;%采样点数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%信号形成%%for k=1:L;a1=10*randn(1);a2=10*randn(1);a3=10*randn(1);ajam=10*randn(1);an=1;s(:,k)=a1*exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta1*pi/180)*[0:N-1]')+...+a2*exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta2*pi/180)*[0:N-1]')+...+a3*exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta3*pi/180)*[0:N-1]');jam(:,k)=ajam*exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta_jam*pi/180)*[0:N-1]');n(:,k)=an*(randn(N,1)+ima*randn(N,1));end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%最优权矢量产生%x=s+jam;Rx=1/L*x*x';%求信号相关矩阵R=pinv(Rx); %相关矩阵求逆a1theta=exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta1*pi/180)*[0:N-1]');a2theta=exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta2*pi/180)*[0:N-1]');a3theta=exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta3*pi/180)*[0:N-1]');C=[a1theta a2theta a3theta];%方向矩阵F=[1 1 1]';Wopt=R*C*(inv(C'*R*C))*F;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%最优波束形成%%for m=1:length(theta);a=exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta(m)*pi/180)*[0:N-1]');y(m)=Wopt'*a;end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Y=20*log10(abs(y)/max(abs(y))+esp);%%作图%%plot(theta,Y);hold on;grid on;axis([-90 90 -50 0]);plot(theta1,-30:0,'.');plot(theta2,-30:0,'.');plot(theta3,-30:0,'.');plot(theta_jam,-30:0,'.');xlabel('\theta/o');ylabel('Amplitude in dB');title('LCMV准则下多个方向波束形成');
麦克风阵列阵元数为10，阵元间距为半波长，入射信号为窄带信号，分别来自-10 o、0 o和40 o，运用LCMV算法，首先对-10 o方向信号进行增强，画出波束图，如图2所示
图2 运用LCMV算法增强-10o信号
然后改变响应向量f，分别对0o和40o方向信号进行增强，仿真结果如图3所示。
图3 分别运用LCMV算法增强0o和40o方向信号
由图2和图3可知，期望信号位于波束图的主瓣位置，干扰信号则处于陷波位置，说明LCMV算法增强了期望信号，同时抑制了非期望方向上的干扰。
