算法的时间复杂度
度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
事后统计的方法（直接运行看花了多长时间）这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。事前估算的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.
时间频度
基本介绍
时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。[举例说明]
举例说明-基本案例
比如计算1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法：
此时：T(n)=n+1;
此时：T(n)=1
for循环为什么是n+1？
for（表达式1;表达式2;表达式3）{循环体;}
其执行顺序为：
表达式1;while（表达式2）{循环体;表达式3;}
通常我们熟悉的用法如：
for(i=0;i<n;i++){循环体;}
①从i=0开始判断执行循环，到i=n-1都满足循环条件，共执行n次循环体语句，时间复杂度为n；（假如for(i=0;i<100;i++)，则执行0到99，一百次语句）
②若改为 i<=n，则执行到 i=n 共执行n+1次循环体语句，时间复杂度为n+1；（假如for(i=0;i<=100;i++)，则执行0到100，101次语句）
如果写成
for(i=0;i<n*n;i++){循环体;}
时间复杂度就变成n的平方了，也就是n*n；
时间复杂度
介绍
一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n 的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
计算方法
①忽略常数项
结论:
2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略
②忽略低次项
结论:
2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20
③忽略系数
结论:
随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键
计算时间复杂度的方法：
用常数1 代替运行时间中的所有加法常数T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²去除最高阶项的系数T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
总结：
T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n²+7n+6 与T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
常见的时间复杂度
常数阶O(1)对数阶O(log2n)线性阶O(n)线性对数阶O(nlog2n)平方阶O(n^2)立方阶O(n^3)k 次方阶O(n^k)指数阶O(2^n)常见的时间复杂度对应的图:
说明：
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法常数阶O
无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
int i = 1;int j = 2;++i;j++;int m = i + j;
上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
对数阶O(log2n)
int i =1;while(i<n){i=i*2;}
说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 n 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .
3) 线性阶O(n)
for(i=1; i<=n; ++i){j = i;j++;}
说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
线性对数阶O(nlogN)
说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)
for(m=1;m<n; m++){i = 1;while(i<n){i = i*2;}}
平方阶O(n²)
说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)
for(x=;i<=n; x++){for(i=1;i<=n;i++){j = i;j++}}
立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)
说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似
平均时间复杂度和最坏时间复杂度
平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会
比最坏情况更长。平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。
算法的空间复杂度简介
基本介绍
类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n 的函数。空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n 有关，它随着n 的增大而增大，当n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.4）空间一般不深讨论，因为科技发达空间很多
常用空间复杂度
空间复杂度比较常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)
1）空间复杂度 O(1)
如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)
举例：
int i = 1;int j = 2;++i;j++;int m = i + j;
代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)
2）空间复杂度 O(n)
我们先看一个代码：
int[] m = new int[n]for(i=1; i<=n; ++i){j = i;j++;}
这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，这段代码的2-6行，虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)
