全国卷高考文科数学第21题真题和变形题练习和详解

本专栏信息简介

大家好，欢迎来到尖子生数理化教育的课堂，作者为一线教师，从事高考教育十年加，毕业于重点大学数学系研究生，实力雄厚，倾向于中高考数学物理化学等相关的教育培训。

本课程适用于高二以及高二以上的学生，如您即将参加高考，那么本课程是非常适合您的。

本课程分为六大章节，主要讲解全国卷1,2,3以及江苏，天津等省份关于函数相关的真题，以及真题背后的考点以及真题的应答技巧，且关于函数相关的考点进行了高考预测，对即将参加高考的你，帮助很大。

每次讲完后，都有备考指南，欢迎大家跟我一起学习！在实体课程中，得到了学生们的一致好评，值得备考学生拥有的学习资料。

真题展示

已知函数f(x)=e^{x}-a(x+2)

（1）当a=1时，讨论函数

的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围。

解析：（1）a=1时，f(x)=e^{x}-(x+2)，令其导函数f^{\prime}(x)=g(x)=e^{x}-1

其中x\epsilonR，判断函数f（x）的单调性，只需要判断函数g（x)>0和g（x）<0的解集即可。

g(x)=e^{x}-1=e^{x}-e^{0}\geq0,解得：x\epsilon[1,+\infty),此时f（x）单调递增；

而当x\epsilon（-\infty，1）时，g（x）<0，f（x）单调递减。

（2）f(x)=e^{x}-a(x+2)，令其导函数f^{\prime}(x)=h(x)=e^{x}-a

第二问，我们可以采用两种方法进行求解：

第一种方法就是传统的方法，利用函数的单调性进行相关的判断。根据零点存在性定理，进行判断。

第二种方法就是数形结合进行不等式的构造和求解。

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方法1详解：结合函数的单调性进行零点的判断，我们知道，如果原函数在给定的定义域内有单调性的话，其零点最多只有一个；

当a为非负数时，h(x)>0,f(x)在R上单调递增，不符合题意。

当a>0时，求解h(x)=0得e^{x}=a,x=lna

当x\epsilon(lna,+\infty)时，h（x）>0，原函数单调递增，而当x\epsilon(-\infty，lna)时，h（x）<0，原函数单调递减；故x=lna时，f（x）有最小值。

f_{min}(x)=f(lna)=a-a(lna+2)=-a(1+lna)

我们需要保证，f_{min}(x)<0才能保证f（x）有两个零点，而-a<0,所以我们只需要保证1+lna>0即可；

求解得：

a\epsilon（\frac{1}{e},+\infty）即a>1/e

方法2：如图，我们需要根据f（x）的表达式构造出两个函数G（x）和H（x）

令G（x）=e^{x},H(x)=a(x+2)，保证其有两个交点即可，而H（x）过定点

（-2，0），从上面的图像可知，当直线过定点（-2，0）向下倾斜到相切的时候，就没有两个交点了，因此我们只需找到相切的时候直线的斜率即可，斜率大于相切时，就会有两个交点。

从图像平移中我们也能求出参数a的取值范围为：a\epsilon（\frac{1}{e},+\infty）(a>1/e)

后续我们在零点存在性专题中会进行数形结合的详细讲解，期待大家的加入！

条条大路通罗马，大家根据自己喜欢的和拿手的方法求解进行，只要能够求解出正确的答案就可以的。

真题背后的3大考点剖析：

1 考察学生对基本函数的求导的掌握能力以及对导函数和原函数单调性之间的关系的理解和应用能力；

2 考察学生们对零点概念的理解和掌握程度；

3 考察学生能够利用已有知识运用数形结合的思想进行不等式的构造。

备考指南：

（A) 函数求导以及原函数的单调性是必考的内容之一，会放在第21题进行考核，分值为12分；

希望大家在备考中务必熟练掌握函数求导，以及导函数的不等式的求解，熟练判断出原函数的单调性，利用函数单调性进行不等式的求解。

(B) 在求解原函数的单调性时，如果求一次导函数判断不出来的话，尝试构造函数二次或者多次求导。这是高考数学必考内容和方法之一！

(C) 高考的核心思想就是数形结合，数形结合是出题人常常使用的法宝之一，大家要能够将所有函数题型应用数形结合的思想；

快速转换思维和方法，拿下这些考试中的压轴题！

高考数学3大必考考点预测：

1 结合函数单调性进行恒成立问题的求解；

2 让学生求解根的取值范围或者根的存在性相关的判断是高考数学的考点趋势和内容之一，请考生务必在此内容上多花时间和精力备考！

3 数形结合快速求解出问题；

4 分情况讨论参数的取值范围，从而决定函数的单调性或者最值。

变形题

讨论函数f(x)=e^{x}-a(x+2)的单调性

考点解析：本题考察学生对含有参数的函数的单调性的熟练掌握程度，根本的核心考点还是考察学生对导函数的不等式求解技巧的熟练掌握程度。

把握住一条核心：导函数大于，原函数单调递增，导函数小于0，原函数单调递减，单调递增和递减区间都必须是在函数的定义域范围内进行确定的。

导函数h（x）=e^{x}-a，当a为非负数时，h（x）大于0恒成立，原函数f（x）单调递增。

当a>0时，当x\epsilon(lna,+\infty)时，h（x）>0，原函数单调递增，而当x\epsilon(-\infty，lna)时，h（x）<0，原函数单调递减；

如何进行参数的分类讨论也是高考数学的考试核心，后续我们也会进行专题详解的。